판별식 계산기 - 이차방정식 근 분석
임의의 이차방정식 판별식 Δ = b² − 4ac를 계산하고, 근이 실수·중근·복소수인지 즉시 확인합니다.
판별식 계산기 - 이차방정식 근 분석
임의의 이차방정식 판별식 Δ = b² − 4ac를 계산하고, 근이 실수·중근·복소수인지 즉시 확인합니다.
ax² + bx + c = 0의 계수 a, b, c를 입력하세요. 계수 a는 0이 될 수 없습니다.
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판별식 계산기에 대해
판별식은 이차방정식을 풀기 전에 그 근에 대해 알아야 할 모든 정보를 하나의 숫자로 담아낸 값입니다. 이차방정식의 근의 공식에서 유도되며, Δ = b² − 4ac는 x = (−b ± √Δ) / (2a)의 제곱근 안에 들어 있습니다. 부호만으로 방정식이 서로 다른 실근 2개를 가지는지(Δ > 0), 중실근 1개를 가지는지(Δ = 0), 아니면 켤레 복소근 2개를 가지는지(Δ < 0)를 결정합니다.
Δ가 양수이면 √Δ는 양의 실수가 되고, 근의 공식의 ± 때문에 서로 다른 두 실수값이 나옵니다. 더 큰 근은 (−b + √Δ)/(2a), 더 작은 근은 (−b − √Δ)/(2a)입니다. 판별식이 클수록 두 근의 간격은 대체로 더 멀어지고, 작지만 양수일수록 두 근은 더 가까워집니다. y = ax² + bx + c의 그래프에서는 양의 판별식이 포물선이 x축을 두 지점에서 가로지른다는 뜻입니다.
Δ가 0이면 √Δ = 0이므로 +와 − 두 분기 모두 같은 답 x = −b/(2a)를 줍니다. 이것이 포물선의 꼭짓점이며, 곡선은 정확히 이 한 점에서 x축에 접합니다. (x − 3)² = x² − 6x + 9 같은 완전제곱 삼항식은 항상 판별식이 0입니다: Δ = 36 − 36 = 0.
Δ가 음수이면 Δ의 실수 제곱근은 존재하지 않고, 해에는 허수 단위 i = √(−1)가 포함됩니다. 두 근은 (−b)/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a) 형태의 켤레 복소수입니다. 이 해들은 실수축의 x절편과는 대응하지 않지만, 복소수 체계에서는 엄연한 해이며 신호 처리, 제어 이론, 물리학에서 자주 나타납니다.
판별식은 수학의 다른 영역과도 중요한 연결고리를 가집니다. 근의 공식에서는 두 해를 직접 결정하고, 해석기하에서는 포물선과 x축의 위치 관계를 정합니다. 방정식론에서는 더 높은 차수의 다항식으로 일반화되어 몇 개의 근이 겹치는지 측정하는 지표가 됩니다. 비에타의 공식은 판별식을 근의 합과 곱에 연결합니다. ax² + bx + c = 0에서 근의 합은 −b/a, 근의 곱은 c/a이며, 정규화된 형태에서는 Δ = (근의 합)² − 4(근의 곱) × a²/a²입니다.
판별식 계산기에 유효한 a, b, c를 입력하면 Δ, 근의 성질, 실제 근의 값을 즉시 확인할 수 있습니다. 이 계산기는 양수, 0, 음수의 모든 판별식 경우를 처리하며, 복소근은 표준 a + bi 형식으로 표시합니다.
판별식 예제
판별식의 모든 경우를 보여 주는 3가지 표준 사례입니다.
| 방정식 | 판별식 | 근의 성질 |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6) | Δ = 1 | Δ = (−5)²−4(1)(6) = 25−24 = 1 > 0. 서로 다른 실근 2개: x = 3, x = 2. |
| x² − 4x + 4 = 0 (a=1, b=−4, c=4) | Δ = 0 | Δ = (−4)²−4(1)(4) = 16−16 = 0. 중근 1개: x = 2. 포물선은 x축에 정확히 한 번 접합니다. |
| x² + 2x + 5 = 0 (a=1, b=2, c=5) | Δ = −16 | Δ = 4−4(1)(5) = 4−20 = −16 < 0. 켤레 복소근 2개: x = −1 ± 2i. 포물선은 x축과 교차하지 않습니다. |
| 2x² − 8x + 6 = 0 (a=2, b=−8, c=6) | Δ = 16 | Δ = 64−4(2)(6) = 64−48 = 16 > 0. 서로 다른 실근 2개: x = 3, x = 1. |
판별식 계산기 사용 방법
- 이차방정식을 표준형 ax² + bx + c = 0으로 정리한 뒤 계수 a, b, c를 찾습니다.
- 첫 번째 칸에 a, 두 번째 칸에 b, 세 번째 칸에 c를 입력합니다. a는 0이 아니어야 합니다.
- 판별식 계산을 누르면 Δ = b² − 4ac, 근의 성질, 실제 근이 표시됩니다.
- 빠른 불러오기 버튼으로 양수·0·음수 판별식의 대표 예제를 확인해 보세요.
- 초기화를 누르면 기본값으로 돌아가 새 계산을 시작할 수 있습니다.
판별식 계산기 FAQ
이차방정식의 판별식은 무엇인가요?
이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식은 Δ = b² − 4ac입니다. 이는 근의 공식에서 제곱근 안에 나타나며, 방정식을 완전히 풀지 않아도 근의 개수와 종류를 알려 줍니다. 판별식이 양수면 서로 다른 실근 2개, 0이면 중근 1개, 음수면 켤레 복소근 2개입니다.
판별식으로 근을 어떻게 구하나요?
Δ를 알면 근의 공식 x = (−b ± √Δ) / (2a)에 대입하면 됩니다. Δ > 0이면 +√Δ와 −√Δ를 각각 사용해 실근 2개를 구합니다. Δ = 0이면 유일한 근은 −b/(2a)입니다. Δ < 0이면 근은 복소수로, x = −b/(2a) ± i√(|Δ|)/(2a)입니다.
판별식이 0이라는 것은 무슨 뜻인가요?
판별식이 0이면 이차방정식이 중근(이중근)을 가진다는 뜻입니다. 기하적으로는 포물선 y = ax² + bx + c가 x축에 접하며, 꼭짓점에서 한 번만 닿고 지나가지는 않습니다. 예를 들어 완전제곱식 x² − 4x + 4 = (x−2)²의 판별식은 0입니다.
판별식이 음수일 수도 있나요?
네. 판별식이 음수라는 것은 Δ의 실수 제곱근이 없으므로 이차방정식에 실근이 없다는 뜻입니다. 대신 p + qi와 p − qi 형태의 켤레 복소근 2개가 있습니다. 이는 포물선이 x축 위나 아래에 완전히 있어 전혀 교차하지 않을 때 발생합니다.
왜 계수 a는 0이 아니어야 하나요?
a = 0이면 ax² + bx + c = 0은 bx + c = 0으로 줄어들어 이차방정식이 아니라 일차방정식이 됩니다. 이때는 분모 2a가 0이 되므로 근의 공식과 판별식을 사용할 수 없습니다. 이 계산기는 진짜 이차방정식을 분석하기 위해 a ≠ 0을 요구합니다.
판별식은 그래프와 어떤 관계가 있나요?
포물선 y = ax² + bx + c의 x절편은 방정식의 실근과 정확히 일치합니다. Δ > 0이면 포물선이 서로 다른 두 점에서 x축을 가릅니다. Δ = 0이면 한 점(꼭짓점)에서 x축에 접합니다. Δ < 0이면 x축과 전혀 닿지 않으며, 모든 근이 복소수임을 뜻합니다.