이중각 공식 계산기
이중각 항등식을 이용해 sin(2x), cos(2x), tan(2x)를 계산하세요. 각도를 도 또는 라디안으로 입력하면 즉시 결과를 확인할 수 있습니다.
각도를 입력하고 단위를 선택한 다음, 표시할 이중각 공식을 고르세요.
이중각 공식 계산기
이중각 항등식을 이용해 sin(2x), cos(2x), tan(2x)를 계산하세요. 각도를 도 또는 라디안으로 입력하면 즉시 결과를 확인할 수 있습니다.
이중각 공식 계산기 소개
이중각 공식은 sin(2x), cos(2x), tan(2x)를 sin(x)와 cos(x)로 나타내는 삼각 항등식입니다. 삼각학, 미적분, 물리, 공학에서 매우 자주 쓰이며, 삼각함수의 입력값을 절반으로 줄일 수 있어 유용합니다.
핵심 이중각 항등식은 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)이며, 이는 2cos²(x) − 1 또는 1 − 2sin²(x)로도 쓸 수 있습니다. 또한 tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)) 입니다. cos(2x) = 0일 때, 즉 2x = 90°, 270° 등일 때 tan(2x)는 정의되지 않습니다.
사인 이중각 공식 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)는 덧셈 공식 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)에 a = b = x를 대입하면 바로 얻을 수 있습니다. 같은 방식으로 cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)에 x를 적용하면 cos(2x) = cos²(x) − sin²(x)가 됩니다. 여기에 피타고라스 항등식 sin²(x) + cos²(x) = 1을 이용하면 sin²(x) = 1 − cos²(x)로 바꿔 cos(2x) = 2cos²(x) − 1을 얻거나, cos²(x) = 1 − sin²(x)로 바꿔 cos(2x) = 1 − 2sin²(x)를 얻을 수 있습니다. 이 세 가지 코사인 이중각 공식은 서로 동치이며 상황에 따라 유용합니다.
미적분에서는 이중각 공식이 사인과 코사인의 곱을 적분할 때 핵심입니다. 예를 들어 sin(x)cos(x)는 (1/2)sin(2x)로 바뀌므로 적분이 훨씬 쉬워집니다. sin²(x)와 cos²(x)의 적분도 이중각 코사인 공식에서 유도한 반각 형태를 사용해 처리할 수 있습니다.
물리학에서는 파동, 광학, 역학에서 이중각 항등식이 나타납니다. 포물선 운동의 사정거리 공식 R = (v²/g)sin(2θ)는 사인 이중각을 사용해 최대 사정거리를 발사 각도의 함수로 나타냅니다. 광학 간섭 무늬, 조화 진동자, 회전 장비에서도 삼각함수 조합이 자주 나오며, 이중각 항등식이 해석을 단순하게 만듭니다.
이 계산기는 도와 라디안 어떤 각도도 입력받을 수 있습니다. 입력값은 내부적으로 라디안으로 변환된 뒤 sin(x)와 cos(x)를 계산하고, 항등식을 적용해 sin(2x), cos(2x), tan(2x)를 구합니다. tan(2x)가 정의되지 않는 경우(즉 이중각이 90°의 홀수 배수일 때)는 큰 수를 표시하지 않고 명확하게 “정의되지 않음”이라고 보여 줍니다. 결과는 정확도를 위해 유효숫자 10자리로 표시됩니다.
이중각 공식 예시
자주 쓰는 기준각과 그에 대한 정확값 또는 매우 근접한 이중각 값입니다.
| 각도 (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | 비고 |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866. 정확값이 알려진 대표적인 기준각입니다. |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = 정의되지 않음 | 45°를 두 배 하면 90°가 됩니다. sin(90°) = 1, cos(90°) = 0입니다. cos(90°) = 0이므로 탄젠트는 정의되지 않습니다. |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | 이중각 120°는 제2사분면에 있으므로 사인은 양수, 코사인은 음수, 탄젠트도 음수입니다. |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 라디안은 30°와 같습니다. 결과는 첫 번째 예시와 동일하며 단위 변환이 맞음을 보여 줍니다. |
이중각 공식 계산기 사용 방법
- 각도 입력란에 x 값을 넣으세요. 양수, 음수, 0 모두 입력할 수 있습니다.
- 단위를 선택하세요. 30°, 45°, 60° 같은 값은 ‘도’, π/6 같은 값은 ‘라디안’을 선택합니다.
- 공식 종류를 고르세요. ‘모든 공식’을 선택하면 sin(2x), cos(2x), tan(2x)를 모두 볼 수 있고, 하나만 필요하면 단일 공식을 선택하면 됩니다.
- ‘계산’을 클릭하세요. 결과 패널에 선택한 공식의 값이 표시되며, 필요하면 tan(2x)는 ‘정의되지 않음’으로 표시됩니다.
- ‘초기화’를 클릭해 입력을 지우거나, 각도와 단위를 바꿔 다른 값을 확인하세요.
이중각 공식 FAQ
사인의 이중각 공식은 무엇인가요?
사인의 이중각 공식은 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)입니다. 덧셈 공식 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)에 a와 b를 모두 x로 두면 유도됩니다. 이 항등식은 적분, 물리, 신호 처리에서 자주 사용됩니다.
코사인 이중각 공식에 왜 세 가지 형태가 있나요?
cos(2x) = cos²x − sin²x, cos(2x) = 2cos²x − 1, cos(2x) = 1 − 2sin²x의 세 형태는 모두 같습니다. 첫 번째는 코사인 덧셈 공식에서 바로 나오고, 나머지 두 개는 sin²x + cos²x = 1을 대입해 얻습니다. 상황에 따라 더 편한 형태가 다릅니다.
tan(2x)는 언제 정의되지 않나요?
cos(2x) = 0일 때 tan(2x)는 정의되지 않습니다. 이는 2x = 90° + 180°k(k는 정수)일 때, 즉 x = 45° + 90°k일 때 발생합니다. 이 각도에서는 tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x)가 0으로 나누게 되고, 탄젠트 함수 자체도 ±∞에 가까워집니다.
이중각 공식은 미적분에서 어떻게 쓰이나요?
이중각 공식은 삼각함수 거듭제곱의 적분을 구할 때 중요합니다. 예를 들어 ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx로 바뀌어 바로 적분할 수 있습니다. 이런 항등식이 없으면 훨씬 복잡한 기법이 필요합니다.
이중각 공식은 음수 각에도 적용되나요?
네. sin과 cos는 모든 실수에 대해 정의되므로 이중각 공식도 음수 각에 적용됩니다. 예를 들어 sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866입니다. 이 계산기는 각도 입력에 임의의 실수를 허용합니다.
이중각 공식과 반각 공식의 관계는 무엇인가요?
반각 공식은 이중각 공식에서 x를 x/2로 바꿔 유도합니다. 예를 들어 cos(2x) = 1 − 2sin²x에 x → x/2를 대입하면 cos(x) = 1 − 2sin²(x/2)가 되고, 정리하면 sin²(x/2) = (1 − cos x)/2가 됩니다. 반각 공식은 익숙한 기준각의 절반에 해당하는 값을 구할 때 유용합니다.