곱의 합 계산기

쉼표 또는 공백으로 구분한 숫자를 입력해 두 벡터의 점곱을 계산하세요.

길이가 같은 두 벡터를 입력해 점곱(대응 원소별 곱의 합)을 계산합니다.

곱의 합 계산기
쉼표 또는 공백으로 구분한 숫자를 입력해 두 벡터의 점곱을 계산하세요.

곱의 합 계산기 소개

곱의 합은 더 엄밀하게는 점곱 또는 스칼라곱이라고 하며, 선형대수와 수학의 기본 연산입니다. 길이가 같은 두 숫자열(벡터)을 받아 하나의 스칼라 숫자를 반환합니다. 이 연산은 두 벡터의 대응 원소를 서로 곱한 뒤, 그 모든 곱을 더하는 방식으로 정의됩니다. 벡터 A = [a₁, a₂, …, aₙ] 및 B = [b₁, b₂, …, bₙ]에 대해 점곱은 A · B = a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ 입니다. 기하학적으로 점곱은 두 벡터 사이의 각도와 밀접하게 관련됩니다. 공식 A · B = ‖A‖ ‖B‖ cos(θ)는 점곱이 두 벡터의 크기를 곱한 값에 두 벡터 사이 각도의 코사인을 곱한 것과 같음을 보여 줍니다. 이 기하학적 해석은 중요한 의미를 갖습니다. 두 벡터가 서로 수직(직교)이면 cos(90°) = 0 이므로 점곱은 0입니다. 같은 방향을 가리키면 점곱은 두 벡터 크기의 곱(가능한 최댓값)이 됩니다. 반대 방향을 가리키면 점곱은 음수입니다. 물리학에서 점곱은 역학적 일을 계산합니다. 일 = 힘 · 변위이며, 힘과 변위는 모두 벡터이고 일은 스칼라 결과입니다. 머신러닝과 데이터 과학에서 점곱은 신경망의 핵심 연산입니다. 각 층의 출력은 가중치와 입력의 곱의 합입니다. 컴퓨터 그래픽스에서는 표면 법선과 빛의 방향 벡터 사이의 점곱이 표면이 얼마나 밝게 보이는지를 결정합니다. 이는 거의 모든 3D 렌더러에서 사용하는 램버트 음영 모델의 기반입니다. 이 계산기는 임의 길이의 벡터를 지원합니다. 원소는 쉼표로 구분해 입력하거나(예: 1, 2, 3) 공백으로 구분해 입력할 수 있습니다(예: 1 2 3). 정수, 소수, 음수를 모두 지원합니다. 유일한 조건은 두 벡터의 원소 개수가 같아야 한다는 것입니다. 길이가 다르면 점곱은 정의되지 않습니다. 기하학적·물리적 해석을 넘어 점곱은 통계학(상관계수에는 곱의 합이 포함됨), 경제학(총비용 = 수량 벡터와 가격 벡터의 점곱), 신호 처리(합성곱과 상관 연산은 곱의 합을 기반으로 함)에서도 사용됩니다. 이 단순한 연산을 이해하면 다양한 정량 분야로 나아갈 수 있습니다.

곱의 합 예시

예시를 클릭하면 계산기에 불러옵니다.

입력 (A · B)점곱설명
A=[1,2,3], B=[4,5,6]32(1×4)+(2×5)+(3×6) = 4+10+18 = 32. 두 3원소 벡터의 기본 점곱입니다.
A=[1,0,−1], B=[1,1,1]0(1×1)+(0×1)+(−1×1) = 1+0−1 = 0. 직교 벡터의 점곱은 항상 0입니다.
A=[1.5,−2,3.1], B=[2,3.5,−1]−7.1(1.5×2)+(−2×3.5)+(3.1×−1) = 3−7−3.1 = −7.1. 음수 결과는 벡터가 대체로 반대 방향을 가리킨다는 뜻입니다.
A=[5,2,10], B=[1.5,4,0.75]23실생활 비용: 수량 [5,2,10]과 가격 [1.50,4.00,0.75]의 점곱 = 7.5+8+7.5 = 23.

곱의 합 계산기 사용법

  1. 첫 번째 입력란에 벡터 A의 원소를 쉼표 또는 공백으로 구분해 입력합니다(예: 1, 2, 3 또는 1 2 3).
  2. 두 번째 입력란에 같은 형식으로 벡터 B의 원소를 입력합니다. 두 벡터는 원소 개수가 같아야 합니다.
  3. ‘곱의 합 계산’을 클릭합니다. 계산기가 대응 원소를 곱하고 그 곱을 모두 더합니다.
  4. 점곱 결과를 확인합니다. 양수는 벡터가 대체로 같은 방향, 음수는 대략 반대 방향, 0은 직교를 의미합니다.
  5. ‘초기화’를 클릭하면 두 입력란이 지워져 새 계산을 시작할 수 있습니다.

곱의 합 FAQ

점곱과 벡터곱의 차이는 무엇인가요?
점곱(곱의 합)은 임의 길이의 두 벡터를 받아 스칼라, 즉 하나의 숫자를 반환합니다. 벡터곱은 3D 벡터에 대해서만 정의되며 두 입력 모두에 수직인 새 벡터를 반환합니다. 정렬 정도나 투영을 스칼라로 측정해야 할 때는 점곱을, 수직 벡터가 필요할 때는 벡터곱을 사용합니다.
점곱이 0이면 왜 벡터가 수직인가요?
기하 공식 A · B = ‖A‖ ‖B‖ cos(θ)는 cos(θ) = 0일 때 점곱이 0이 됨을 보여 주며, 이는 θ = 90°일 때 발생합니다. 직각을 이루는 두 벡터는 직교한다고 하며, 크기와 관계없이 점곱은 항상 정확히 0입니다.
음수 점곱은 무엇을 의미하나요?
음수 점곱은 두 벡터 사이의 각도가 90°보다 커서 cos(θ)가 음수라는 뜻입니다. 기하학적으로 벡터들은 대체로 반대 방향을 가리킵니다. 매우 큰 음수 점곱(−‖A‖‖B‖에 가까운 값)은 거의 정확히 반대 방향을 가리킨다는 의미입니다.
점곱은 머신러닝에서 어떻게 사용되나요?
신경망에서 각 뉴런은 입력의 가중합을 계산하는데, 이는 가중치 벡터와 입력 벡터의 점곱과 정확히 같습니다. 딥러닝의 핵심인 행렬 곱셈은 점곱을 체계적으로 모아 놓은 것입니다. 점곱은 대규모 언어 모델 같은 트랜스포머 모델의 어텐션 메커니즘에도 등장합니다.
두 벡터의 길이가 같아야 하나요?
예. 점곱은 두 벡터가 같은 수의 원소를 가질 때만 정의됩니다. 길이가 다르면 연산은 정의되지 않으며 계산기가 오류를 표시합니다. 계산하기 전에 각 입력란의 숫자 개수가 같은지 확인하세요.
이 계산기를 3차원보다 높은 벡터에 사용할 수 있나요?
예. 이 계산기는 2D, 3D, 4D 또는 그 이상의 차원을 포함해 임의 길이의 벡터에 사용할 수 있습니다. 모든 원소를 쉼표나 공백으로 구분해 입력하기만 하면 됩니다. 차원 수와 관계없이 계산은 같습니다. 대응 원소를 곱하고 결과를 더합니다.