가우스-조던 소거 계산기 - 연립방정식 풀기

가우스-조던 소거법은 확장행렬에 기본 행 연산을 적용하여 기약 행 사다리꼴(RREF)까지 만드는 체계적인 연립 선형방정식 풀이 알고리즘입니다. 카를 프리드리히 가우스와 빌헬름 요르단의 이름을 따서 명명되었으며, 가우스 소거법을 더 확장해 모든 피벗이 1이 되고 피벗 열의 나머지 항이 모두 0이 될 때까지 줄입니다. 이렇게 하면 역대입 없이 해를 바로 읽을 수 있습니다. 과정은 먼저 확장행렬 [A | b]를 만드는 것에서 시작합니다. 여기서 A는 변수의 계수를, b는 각 방정식 오른쪽의 상수를 담습니다. 그런 다음 세 가지 행 연산을 사용합니다. 두 행을 바꾸기, 한 행에 0이 아닌 스칼라를 곱하기, 한 행의 배수를 다른 행에 더하기입니다. 이 연산들은 연립방정식의 해집합을 바꾸지 않으므로, 최종 RREF 행렬은 원래 시스템과 동치입니다. n개의 방정식과 n개의 미지수로 이루어진 시스템은 정확히 하나의 해를 가질 수 있고(계수 행렬이 풀랭크일 때), 해가 없을 수도 있으며(모순된 경우로, 왼쪽은 모두 0인데 오른쪽은 0이 아닌 행이 나타남), 무한히 많은 해를 가질 수도 있습니다(종속된 경우로, 피벗 열 수가 변수 수보다 적을 때). 가우스-조던 소거법은 이 세 가지를 명확하게 구분합니다. 이 방법은 어떤 연립방정식도 풀 수 있는 명확한 절차를 제공하므로 선형대수 수업에서 널리 가르쳐집니다. 실제 수치 계산에서는 안정성을 높이고 반올림 오차를 줄이기 위해 부분 피벗팅을 사용합니다. 가우스-조던 소거법은 행렬 역행렬 계산, 최소제곱 문제 풀이, 영공간 계산의 기초가 됩니다. 이 계산기는 2x2, 3x3, 4x4 시스템에 대해 부분 피벗팅이 포함된 가우스-조던 소거를 구현합니다. 전체 RREF 행렬과 해의 값을 함께 보여 주어 결과뿐 아니라 시스템의 대수적 구조도 파악할 수 있습니다.