데카르트 부호 법칙 계산기

데카르트 부호 법칙은 대수학의 고전 정리로, 르네 데카르트가 1637년 저서 『기하학』에서 처음 발표했습니다. 이 법칙은 다항식 계수의 부호만 살펴보면, 근을 직접 구하지 않고도 양의 실근과 음의 실근의 최대 개수를 빠르게 알려줍니다. 양의 실근의 경우, 실수 계수를 가진 다항식 f(x)의 양의 실근 개수는 비영(0이 아닌) 계수들의 부호 변화 수와 같거나, 그 수보다 짝수만큼 적습니다. 2개씩 줄어들 때마다 실근 한 쌍이 켤레 복소근 한 쌍으로 바뀐다고 볼 수 있습니다. 음의 실근에는 x를 −x로 바꿔 f(−x)를 만든 뒤, 새 계수열의 부호 변화를 셉니다. 그 결과가 원래 다항식의 음의 실근 최대 개수이며, 역시 짝수만큼 줄어들 수 있습니다. 예를 들어 f(x) = x³ − 2x² + 5x − 3을 보겠습니다. 계수는 1, −2, 5, −3입니다. 부호는 +, −, +, −이므로 부호 변화가 3번(+→−, −→+, +→−)입니다. 따라서 f(x)의 양의 실근은 3개 또는 1개입니다. 한편 f(−x) = −x³ − 2x² − 5x − 3의 부호는 −, −, −, −로 변화가 0번이므로 음의 실근도 0개입니다. 중요한 점은 부호 변화를 셀 때 0인 계수(다항식에서 빠진 항)는 무시한다는 것입니다. 비영 계수만 부호열에 포함됩니다. 따라서 x⁴ − x² + 1은 [1, −1, 1]로 분석해야 하며, [1, 0, −1, 0, 1]로 세지 않습니다. 이 법칙이 유용한 이유는 계산이 매우 간단하기 때문입니다. 부호만 보면 되고, 어떤 근도 계산할 필요가 없습니다. 그래서 다항식 분석의 첫 단계로 매우 적합합니다. 예를 들어 양의 근이 최대 1개라는 사실을 알면, 수치적 근 찾기 작업을 그에 맞게 좁힐 수 있습니다. 다만 이 법칙은 정확한 개수가 아니라 상한만 제공합니다. 켤레 복소근이 실근 한 쌍을 ‘대체’할 수 있기 때문에, 실제 양의 근이나 음의 근은 최대값보다 적을 수 있습니다. 또한 근의 크기나 중복도는 알려주지 않으며, 복소근은 전혀 판별하지 못합니다. 실무에서는 데카르트 부호 법칙을 유리근 정리, 슈투름 정리, 수치해석 방법과 함께 사용합니다. 엔지니어는 제어 시스템 안정성 분석에, 경제학자는 시장 모형의 평형 개수 상한 추정에, 수학자는 다항식의 대수 구조와 기하학적 성질을 연결하는 교육 도구로 활용합니다.