대기행렬 계산기 - M/M/c 대기행렬 분석

대기행렬 이론은 대기 줄을 연구하는 수학의 한 분야입니다. 도착은 무작위로 발생하고, 서비스에는 시간이 걸리며, 자원(서버)은 제한되어 있는 시스템의 동작을 예측하는 도구를 제공합니다. 적용 분야는 통신(패킷 스위칭), 의료(환자 예약), 제조(기계 대기열), 교통(차량 흐름), 컴퓨터 과학(운영체제 스케줄링)까지 다양합니다. Kendall 표기법 A/S/c/K/N은 도착 과정 (A), 서비스 시간 분포 (S), 서버 수 (c), 시스템 용량 (K), 모집단 크기 (N)로 대기행렬을 설명합니다. 가장 흔한 표기는 M/M/c이며, 도착과 서비스 시간이 모두 지수(기억 없음) 분포를 따릅니다. M은 Markovian(지수형)을 뜻합니다. 이 계산기는 네 가지 핵심 모델을 다룹니다. M/M/1 모델은 가장 단순합니다. 단일 서버에 포아송 도착(률 λ)과 지수 서비스 시간(률 μ)을 가정합니다. 시스템은 ρ = λ/μ < 1일 때만 안정적입니다. 시스템의 평균 개수는 L = ρ/(1-ρ), 평균 시스템 체류시간은 Little의 법칙(L = λW)에 따라 W = 1/(μ-λ)입니다. M/M/c 모델은 이를 c개의 병렬 동일 서버로 확장한 것입니다. 총 서비스 용량은 c·μ이므로 안정성 조건은 ρ = λ/(c·μ) < 1입니다. Erlang C 공식은 도착한 고객이 기다려야 할 확률을 제공합니다: C(c,ρ) = (cρ)^c/(c!(1-ρ)) · P₀, 여기서 P₀는 시스템이 비어 있을 확률입니다. M/M/c/K 모델은 제한된 대기 공간을 추가합니다. 시스템 용량 K는 서비스 중과 대기 중을 모두 포함한 총 고객 수의 최대치입니다. 시스템이 가득 찼을 때 도착한 고객은 차단(거절)됩니다. 이 모델은 식당, 주차장, 병동 등에 적합합니다. M/M/1/K의 차단 확률은 P(K) = P₀ · (λ/μ)^K / K!입니다. M/M/c/N 모델은 잠재 고객 수가 N명인 유한 모집단을 가정합니다. 이미 시스템에 있는 고객은 새로운 도착을 만들 수 없으므로, 시스템이 차면서 유효 도착률은 감소합니다. 이 모델은 N대의 기계가 각각 λ의 속도로 고장 나고 μ의 속도로 수리되는 기계 수리 문제에 적합합니다. Little의 법칙 — L = λ_eff × W — 은 시스템의 평균 개수 (L), 유효 도착률 (λ_eff), 평균 시스템 체류시간 (W)을 연결하는 보편적 관계입니다. 안정적인 거의 모든 대기행렬 시스템에 대해 분포 가정과 무관하게 성립하며, 이 계산기의 모든 성능 공식의 기반이 됩니다.