부분 분수 분해 계산기
임의의 진유리식을 더 단순한 부분 분수의 합으로 나눕니다. 분자와 분모 다항식을 입력하면 완전한 분해를 즉시 얻을 수 있습니다.
표준 표기법으로 다항식을 입력하세요(예: x^2 + 3x + 2). 분자의 차수는 분모의 차수보다 작아야 합니다.
부분 분수 분해 계산기
임의의 진유리식을 더 단순한 부분 분수의 합으로 나눕니다. 분자와 분모 다항식을 입력하면 완전한 분해를 즉시 얻을 수 있습니다.
부분 분수 분해 계산기 소개
부분 분수 분해는 유리식——즉 분자와 분모가 모두 다항식인 분수——을 더 단순한 분수들의 합으로 다시 쓰는 대수적 기법입니다. 이는 분수를 공통 분모로 합치는 것의 반대입니다. 즉, 여러 분수를 더하는 대신 복잡한 하나의 분수를 분해합니다. 이렇게 얻은 각 항은 적분, 라플라스 역변환, 기타 연산을 훨씬 쉽게 계산할 수 있게 합니다.
대수학의 기본정리는 실수 계수의 모든 다항식이 실근에 대응하는 1차 인수 (x − r)와 기약 2차 인수 (x² + px + q)의 곱으로 분해될 수 있음을 보장합니다. 부분 분수 분해는 먼저 분모를 인수분해한 뒤, 원래 식을 그 인수들을 분모로 갖는 항들의 합으로 쓰는 방식입니다. 서로 다른 1차 인수 (x − r)에는 A/(x − r) 형태의 항이 대응합니다. 반복되는 1차 인수 (x − r)ⁿ에는 n개의 항이 필요하며 A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ 형태가 됩니다. 기약 2차 인수 (x² + px + q)에는 (Ax + B)/(x² + px + q)를 사용합니다.
상수는 미정계수법으로 구합니다. 분해식 양변에 분모를 곱해 분수를 없앤 뒤, 적당한 x 값(예: 각 근)을 대입하거나 x의 같은 차수 항의 계수를 비교해 연립방정식을 세웁니다. 그 방정식을 풀면 모든 상수의 정확한 값을 얻을 수 있습니다.
부분 분수는 적분학에서 필수적입니다. 1/(x − r)의 적분은 ln|x − r|, 1/(x − r)²의 적분은 −1/(x − r)로 기본 공식만으로 계산할 수 있습니다. 분해하지 않으면 (5x − 4)/(x² − x − 2) 같은 식은 눈에 띄지 않는 치환을 찾아야 하지만, 분해하면 2/(x − 2) + 3/(x + 1)로 바뀌어 각 항을 바로 적분할 수 있습니다.
미적분을 넘어 부분 분수는 전달함수의 라플라스 역변환으로 시스템의 시간 영역 응답을 구하는 제어공학, 디지털 필터의 z-변환 표현을 분석하는 신호처리, 복잡한 유리식을 더 다루기 쉽게 만드는 대수학에서도 등장합니다. 미지수에 대한 방정식을 세우고 푸는 방법을 이해하는 것이 핵심이며, 이 계산기는 모든 단계를 보여 주어 과정을 따라가고 직관을 쌓도록 돕습니다.
부분 분수 분해 예시
서로 다른 1차 인수, 3차 분모, 상수 분자를 보여 주는 예시입니다.
| 유리식 | 분해 | 핵심 관찰 |
|---|---|---|
| (5x − 4) / (x² − x − 2) | 2/(x − 2) + 3/(x + 1) | 분모는 (x − 2)(x + 1)로 인수분해된다. 서로 다른 1차 인수 2개이며, 커버업으로 A = 2, B = 3을 얻는다. |
| (x² + 12x + 12) / (x³ − 4x) | −3/x + 2/(x − 2) + 2/(x + 2) | 분모 = x(x − 2)(x + 2). x = 0, 2, −2를 대입해 상수를 구한다. |
| 1 / (x² + x) | 1/x − 1/(x + 1) | 분모 = x(x + 1). 분자가 상수이므로 대입으로 A = 1, B = −1을 얻는다. |
| (8x² − 3x + 10) / (x³ − 2x² + 4x − 8) | 3/(x − 2) + (5x + 2)/(x² + 4) | 분모 = (x − 2)(x² + 4). 1차 인수 + 기약 2차 인수이다. |
부분 분수 분해 계산기 사용 방법
- 분자 P(x) 칸에 5x - 4 또는 x^2 + 3 같은 표준 표기법으로 분자 다항식을 입력하세요.
- 분모 Q(x) 칸에 x^2 - x - 2 같은 분모 다항식을 입력하세요.
- 분자의 차수가 분모의 차수보다 엄격히 작은지 확인하세요. 그렇지 않으면 먼저 다항식 나눗셈을 수행합니다.
- 계산을 클릭하세요. 계산기가 분모를 인수분해하고 헤비사이드 커버업 방법으로 모든 상수를 구합니다.
- 초기화를 클릭하면 두 칸이 모두 지워져 새 분해를 시작할 수 있습니다.
부분 분수 분해 FAQ
부분 분수 분해란 무엇인가요?
부분 분수 분해는 유리식 P(x)/Q(x)를 Q(x)의 인수들을 분모로 갖는 더 단순한 분수들의 합으로 다시 쓰는 방법입니다. 공통 분모로 분수를 더하는 것의 반대이며, 적분이나 역변환을 훨씬 쉽게 만들어 줍니다.
언제 부분 분수를 사용할 수 있나요?
진유리함수일 때 사용할 수 있습니다. 즉 분자의 차수가 분모의 차수보다 엄격히 작아야 합니다. 식이 가유리식(분자 차수 ≥ 분모 차수)이면 먼저 나눗셈으로 다항식과 진분수 나머지로 만든 뒤, 나머지만 분해하세요.
A, B, C 상수는 어떻게 구하나요?
먼저 양변에 인수분해된 분모를 곱해 분수를 없앤 뒤 상수들을 구합니다. 가장 빠른 방법은 각 1차 인수의 근을 x에 대입하는 것입니다(각 근은 한 항만 남기고 나머지를 0으로 만듭니다). 기약 2차 인수는 전개 후 같은 차수의 계수를 비교합니다.
분모에 반복 인수가 있으면 어떻게 하나요?
반복되는 1차 인수 (x − r)ⁿ에는 n개의 별도 항이 필요합니다: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. 각 거듭제곱마다 독립적인 미지수가 생기므로 보통 전개 후 계수 일치로 풉니다.
기약 2차 인수에는 왜 선형 분자(Ax + B)를 쓰나요?
기약 2차 인수 x² + px + q는 실수 범위에서 1차 인수로 분해할 수 없습니다. 그 부분 분수의 분자는 분모보다 한 차수 낮아야 하므로 (Ax + B)/(x² + px + q) 형태가 되며, 미지수는 A와 B 두 개입니다.
부분 분수의 가장 큰 활용은 무엇인가요?
가장 흔한 활용은 미적분의 적분입니다. A/(x − r) 같은 단순 분수는 A·ln|x − r|로 적분되어 어려운 적분을 다루기 쉽게 만듭니다. 부분 분수는 전달함수의 라플라스 역변환과 디지털 필터의 z 역변환을 구할 때도 중요합니다.