피라미드 부피·표면적 계산기
정사각형, 삼각형, 오각형, 육각형 밑면을 가진 피라미드의 부피, 표면적, 옆면적, 밑면적을 계산합니다.
밑면 종류를 선택하고 밑변 길이와 높이를 입력한 뒤, 필요하면 사선 높이 또는 내접반지름을 추가로 입력하세요. 계산하기를 누르면 모든 기하학적 속성이 표시됩니다.
피라미드 부피·표면적 계산기
정사각형, 삼각형, 오각형, 육각형 밑면을 가진 피라미드의 부피, 표면적, 옆면적, 밑면적을 계산합니다.
피라미드 계산기 소개
피라미드는 다각형 밑면과 삼각형 옆면을 가진 3차원 입체로, 옆면들은 밑면의 중심 바로 위에 있는 하나의 꼭짓점으로 모입니다. 밑면의 구체적인 모양—정사각형, 정삼각형, 정오각형, 정육각형—에 따라 옆면의 개수와 각 기하학적 값을 계산하는 공식이 결정됩니다.
가장 기본적인 값은 부피입니다. 어떤 피라미드든 밑면 모양과 관계없이 부피는 밑면적에 수직 높이를 곱한 뒤 3으로 나눈 값입니다: V = (1/3) × A_base × h. 이 1/3 계수는 같은 밑면과 높이를 가진 각기둥을 세 개의 합동 피라미드로 채울 수 있다는 기하학적 사실에서 나옵니다. 이는 모든 피라미드 유형에 성립하는 우아한 기하학적 항등식입니다.
밑면적은 다각형에 따라 달라집니다. 한 변의 길이가 L인 정사각형의 면적은 L²입니다. 정삼각형의 면적은 (√3 / 4) × L²입니다. 정오각형의 면적은 (5L² / 4) × cot(π/5), 정육각형의 면적은 (3√3 / 2) × L²입니다. 이 공식들은 모두 정다각형, 즉 모든 변과 모든 내각이 같은 도형을 가정합니다.
사선 높이는 밑변의 중점에서 꼭짓점까지 옆면을 따라 잰 거리입니다. 실제 높이와는 다릅니다. 직피라미드에서는 사선 높이를 수직 높이 h와 밑면 다각형의 내접반지름 a로 계산할 수 있습니다: 사선 높이 = √(h² + a²). 내접반지름은 다각형의 중심에서 임의의 변의 중점까지의 거리입니다. 정사각형의 경우 내접반지름 = L/2. 정삼각형의 경우 내접반지름 = L / (2√3). 정오각형의 경우 내접반지름 = L / (2 tan(π/5)). 정육각형의 경우 내접반지름 = L√3 / 2입니다.
옆면적은 밑면을 제외한 모든 삼각형 옆면의 합입니다. 정다각형 밑면을 가진 직피라미드에서는 (1/2) × 둘레 × 사선 높이로 단순화됩니다. 전체 표면적은 옆면적에 밑면적을 더한 값입니다.
이 계산은 실제로도 유용합니다. 건축에서는 피라미드형 지붕 구간의 옆면적으로 지붕 재료를 추정합니다. 제조에서는 부피 계산으로 원재료 필요량과 피라미드형 부품의 무게를 산정합니다. 교육과 3D 프린팅에서는 이 여섯 가지 값이 출력물이나 학습 대상 입체의 기하를 완전히 설명합니다. 이 계산기는 밑변 길이와 높이라는 두 개의 필수 입력만으로 부피, 밑면적, 옆면적, 전체 표면적, 사선 높이, 내접반지름의 6개 결과를 모두 자동 계산합니다.
피라미드 예시
일반적인 건축 또는 교육용 치수로 각 밑면 유형을 보여 주는 네 가지 예시입니다.
| 구성 | 부피 | 표면 상세 |
|---|---|---|
| 정사각형, L = 10 cm, H = 15 cm | 500.00 cm³ | 밑면적 = 100 cm². 사선 높이 ≈ 15.81 cm. 옆면적 ≈ 316.2 cm². 전체 표면적 ≈ 416.2 cm². |
| 삼각형, L = 8 cm, H = 12 cm | 110.85 cm³ | 정삼각형 밑면, 면적 ≈ 27.71 cm². 사선 높이 ≈ 12.06 cm. 전체 표면적 ≈ 172.6 cm². |
| 오각형, L = 6 cm, H = 10 cm | 206.46 cm³ | 오각형 밑면적 ≈ 61.94 cm². 사선 높이 ≈ 10.85 cm. 전체 표면적 ≈ 224.5 cm². |
| 육각형, L = 7 cm, H = 13 cm | 551.67 cm³ | 육각형 밑면적 ≈ 127.31 cm². 사선 높이 ≈ 14.34 cm. 옆면적 ≈ 301.1 cm². 전체 표면적 ≈ 428.4 cm². |
피라미드 계산기 사용 방법
- 드롭다운에서 밑면 종류를 선택합니다: 정사각형, 삼각형(정삼각형), 오각형, 육각형.
- 밑변 길이(밑면을 이루는 정다각형의 한 변 길이)와 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 높이를 입력합니다.
- 사선 높이나 내접반지름을 직접 측정했다면 선택적으로 입력할 수 있습니다. 입력하지 않으면 계산기가 밑변 길이와 높이로부터 구합니다.
- 모든 치수에 사용할 단위(cm, m, in, ft)를 선택합니다. 결과는 해당 단위의 제곱과 세제곱 단위로 표시됩니다.
- 계산하기를 누르면 부피, 밑면적, 옆면적, 전체 표면적, 사선 높이, 내접반지름을 볼 수 있습니다. 초기화를 누르면 모든 필드가 지워집니다.
피라미드 계산기 FAQ
피라미드 부피 공식은 무엇인가요?
모든 피라미드의 부피는 V = (1/3) × 밑면적 × 높이 입니다. 밑면적 공식은 다각형에 따라 다릅니다: 정사각형은 L², 정삼각형은 (√3/4)L², 정오각형은 (5L²/4)cot(π/5), 정육각형은 (3√3/2)L² 입니다. 여기서 높이는 밑면 평면에서 꼭짓점까지의 수직 거리입니다.
사선 높이와 실제 높이의 차이는 무엇인가요?
실제(수직) 높이 h는 밑면 중심에서 꼭짓점까지 수직으로 잰 거리입니다. 사선 높이는 밑변의 중점에서 옆면을 따라 꼭짓점까지의 거리이며, √(h² + a²)와 같습니다. 여기서 a는 밑면 다각형의 내접반지름입니다. 사선 높이는 항상 실제 높이보다 큽니다.
피라미드 밑면의 내접반지름은 무엇인가요?
내접반지름은 정다각형 밑면의 중심에서 임의의 변의 중점까지의 거리, 즉 밑면 다각형의 내접원의 반지름입니다. 한 변이 L인 정사각형의 내접반지름 = L/2입니다. 한 변이 L인 정육각형의 내접반지름 = L√3/2입니다. 내접반지름은 사선 높이와 옆면적 계산에 사용됩니다.
피라미드의 옆면적은 어떻게 계산하나요?
정다각형 밑면을 가진 직피라미드의 옆면적 = (1/2) × 둘레 × 사선 높이 입니다. 둘레는 변의 개수에 변 길이를 곱하면 됩니다. 사선 높이는 직접 측정하거나 √(h² + a²)로 구할 수 있습니다. 이 공식은 밑면을 제외한 모든 삼각형 옆면의 합을 나타냅니다.
밑변 길이와 높이를 서로 다른 단위로 입력할 수 있나요?
아니요. 밑변 길이, 높이, 사선 높이, 내접반지름 등 모든 선형 입력은 같은 단위를 사용해야 합니다. 먼저 드롭다운에서 단위를 선택한 뒤 값을 입력하세요. 부피는 해당 단위의 세제곱으로 표시되고, 면적은 제곱으로 표시됩니다. 결과를 변환하려면 부피에는 적절한 세제곱 변환 계수를, 면적에는 제곱 변환 계수를 적용하세요.
계산은 얼마나 정확한가요?
모든 계산은 표준 부동소수점 연산과 삼각함수에서 유도한 정확한 기하 공식으로 수행됩니다. 결과는 소수점 둘째 자리까지 표시되어 건축, 구조, 교육 용도에 충분합니다. 매우 크거나 작은 수는 가독성을 위해 과학적 표기법으로 표시합니다.