らせん長さ計算機

アルキメデスらせんは、角度の変化に対して半径が一定の割合で変化する極座標曲線です。方程式は r = a + bθ で、a は角度ゼロでの半径、b はラジアンあたりの半径増加量、θ はラジアンで表した角度です。角度が同じ量だけ増えると半径も同じ量だけ変化するため、隣り合う巻きの間隔は一定になります。この身近ならせんは、巻かれた材料、溝、コイル、アンテナ、数学モデルなどに現れます。 一方、対数らせんは r = a × e の bθ 乗という式を使います。同じ角度変化に対して半径が一定の比率で変わるため、巻きの間隔は等差的ではなく等比的に広がります。対数らせんは成長モデル、アンテナ設計、自然界の形状などに見られます。この計算機は両方に対応し、選択した式に適した厳密な原始関数を使用します。 らせんは原点の周囲を回りながら半径方向にも移動するため、平均半径に角度を掛けるだけでは長さを求められません。極座標曲線の弧長の被積分関数は、r の二乗と r の θ に関する導関数の二乗を足したものの平方根です。アルキメデスらせんの導関数は単に b です。対数らせんでは b とその時点の半径の積になり、簡潔な指数関数の長さの式が得られます。 この計算機は曲線を多数の短い線分に分けるのではなく、閉形式の式を評価します。b がゼロの場合はどちらのらせんも半径が一定となり、円弧になります。その場合は半径と角度幅の積という簡単な式を使います。度で入力した角度は、式を適用する前にラジアンへ変換します。 初期半径と増加値の意味は、選択したモデルによって異なります。アルキメデスらせんの増加量はラジアンあたりの長さを持ち、対数らせんの指数係数は無次元です。弧長の単位は初期半径と同じです。増加値が負の場合、角度が増えるにつれて内側へ巻く形状を表しますが、長さは常に非負です。 実際のコイルには厚み、変形、公差があり、理想的な中心線モデルでは表現できません。材料の必要長を計画するときは帯材や線材の中心線半径を使い、実用上の余裕を加えてください。表示は小数点以下六桁で読みやすくし、内部計算では標準の倍精度を維持しています。