Calculateur de produit vectoriel

Calculez le produit vectoriel de deux vecteurs 3D et trouvez un vecteur perpendiculaire aux deux.

Produit vectoriel en 3D
Saisissez les composantes x, y et z des deux vecteurs.

À propos du produit vectoriel

Le produit vectoriel est une opération sur deux vecteurs de l'espace tridimensionnel. Son résultat est un autre vecteur, et non un simple scalaire. Ce vecteur est perpendiculaire aux deux entrées, ce qui le rend particulièrement utile pour l'orientation, les normales aux surfaces, la rotation, les moments de force ou les aires dans l'espace. L'ordre compte : inverser les vecteurs inverse le sens du résultat. Autrement dit, A vectoriel B est l'opposé de B vectoriel A. Ce calculateur applique directement la formule standard par composantes. Pour A = (Ax, Ay, Az) et B = (Bx, By, Bz), la première composante vaut AyBz moins AzBy. La deuxième vaut AzBx moins AxBz, et la troisième AxBy moins AyBx. Ces trois différences signées équivalent au développement du déterminant habituel construit avec les directions unitaires i, j et k. Saisissez des entiers, des décimaux ou des valeurs négatives : chaque composante est calculée et le triplet ordonné est affiché. La norme du produit vectoriel a un sens géométrique : elle égale l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs. Sa moitié donne l'aire du triangle formé par les mêmes vecteurs. Si le résultat est le vecteur nul, les entrées sont parallèles, antiparallèles ou l'une est de longueur nulle. Le sens d'un résultat non nul suit la règle de la main droite : repliez les doigts de A vers B, et le pouce pointe selon A vectoriel B. Les produits vectoriels interviennent en physique, ingénierie, infographie et algèbre linéaire. Le moment d'une force est le produit vectoriel d'un vecteur position et d'une force. Le moment cinétique utilise la position et la quantité de mouvement. Les logiciels graphiques calculent les normales à partir de deux arêtes d'un polygone, tandis que la géométrie utilise la norme pour calculer des aires. Les petites erreurs de signe étant fréquentes à la main, cet outil permet de vérifier rapidement chaque composante. La formule affichée précise aussi l'ordre des coordonnées pour faciliter la comparaison avec un développement manuel du déterminant.

Exemples de produit vectoriel

Ces exemples montrent la direction et la norme obtenues avec des paires de vecteurs courantes.

VecteursProduit vectorielInterprétation
A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0)(0, 0, 1)Les vecteurs unitaires x et y donnent le vecteur unitaire z positif.
A = (2, 3, 4), B = (5, 6, 7)(-3, 6, -3)Une paire générale dont les composantes sont non nulles.
A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 6)(0, 0, 0)Des vecteurs parallèles ont un produit vectoriel nul.

Comment calculer un produit vectoriel

  1. Saisissez les composantes x, y et z du vecteur A.
  2. Saisissez les trois composantes correspondantes du vecteur B.
  3. Cliquez sur Calculer le produit vectoriel pour appliquer la formule par composantes.
  4. Lisez le vecteur obtenu dans l'ordre x, y, z et interprétez son sens avec la règle de la main droite.

Questions fréquentes

Que calcule un produit vectoriel ?

Il calcule un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs d'entrée dans l'espace tridimensionnel. Sa norme égale aussi l'aire du parallélogramme formé par ces vecteurs.

L'ordre des vecteurs est-il important ?

Oui, le produit vectoriel n'est pas commutatif. Inverser A et B donne un vecteur de même norme, mais de sens opposé.

Pourquoi mon produit vectoriel est-il nul ?

Cela signifie que les vecteurs sont parallèles, antiparallèles ou que l'un est nul. Ils n'engendrent alors aucun parallélogramme d'aire strictement positive.

Comment trouver l'aire d'un triangle avec un produit vectoriel ?

Calculez la norme du produit vectoriel de deux vecteurs côtés issus d'un même sommet. Divisez-la par deux pour obtenir l'aire du triangle.

Puis-je saisir des composantes décimales et négatives ?

Oui, chaque champ accepte des valeurs finies positives, négatives ou décimales. La même formule s'applique sans modification.