Calculateur du principe multiplicatif

Le principe fondamental du dénombrement, aussi appelé principe multiplicatif, détermine le nombre de résultats possibles d'un processus comportant plusieurs étapes successives. Si une étape peut se réaliser de m façons et une deuxième étape indépendante de n façons, le processus complet peut se réaliser de m × n façons. Le raisonnement s'étend à un nombre quelconque d'étapes : il suffit de multiplier tous leurs nombres de choix. Ce calculateur accepte deux à quatre étapes et utilise une arithmétique entière exacte pour fournir le total. Prenons une tenue à choisir parmi quatre chemises et trois pantalons. Chaque chemise peut être associée à chacun des trois pantalons, soit 4 × 3 = 12 tenues. Ajoutez deux choix de chaussures et le total devient 4 × 3 × 2 = 24. Un arbre de dénombrement pourrait représenter toutes les branches, mais la multiplication donne le même résultat bien plus vite. Ce principe est particulièrement utile lorsqu'énumérer les résultats serait fastidieux ou impossible. Les étapes ne doivent pas nécessairement correspondre à des objets physiques. Un code produit offrant deux lettres à la première position, cinq chiffres à la deuxième et trois symboles à la troisième admet 2 × 5 × 3 = 30 codes, à condition que chaque choix reste disponible après n'importe quel choix précédent. Menus, itinéraires, mots de passe, plans d'expérience, états informatiques et réponses à des enquêtes suivent la même règle. La condition essentielle est que chaque nombre saisi s'applique à toutes les combinaisons formées auparavant. Si les choix suivants dépendent des précédents, le produit simple peut nécessiter un ajustement. Par exemple, choisir deux élèves différents pour des rôles distincts ne donne pas n × n, car le premier ne peut pas être choisi à nouveau ; on obtient n × (n - 1). On peut souvent traiter les contraintes en adaptant le nombre de choix réellement disponibles à chaque étape, ou en séparant le problème en cas dont on additionne les totaux. Le dénombrement est étroitement lié aux probabilités. Lorsque les résultats sont équiprobables, on calcule souvent une probabilité en divisant les cas favorables par le nombre total de cas, et le principe multiplicatif fournit l'un de ces nombres ou les deux. Il est aussi à la base des formules de permutations, de combinaisons et de factorielles. Utilisez ce calculateur lorsqu'une tâche se représente par une suite de choix indépendants. Repérez les étapes, comptez les choix disponibles, saisissez ces entiers positifs et multipliez-les pour connaître la taille de l'ensemble des résultats sans les énumérer à la main.