Calculateur de FOIL inversé

Factorisez un trinôme du second degré en deux binômes et découvrez comment les coefficients s'articulent.

Factoriser un trinôme

Saisissez les coefficients entiers de ax² + bx + c.

Coefficient a (de ax²)

Coefficient b (de bx)

Constante c

À propos du FOIL inversé et de la factorisation

Le FOIL inversé est une appellation pratique pour l'opération inverse du produit de deux binômes. FOIL signifie en anglais premiers, extérieurs, intérieurs et derniers, les quatre produits obtenus en développant une expression comme (px + q)(rx + s). Leur somme donne prx² + (ps + qr)x + qs. Le calculateur part des coefficients a, b et c de ax² + bx + c et cherche des entiers p, q, r et s tels que pr = a, qs = c et ps + qr = b. Pour un trinôme unitaire, où a vaut 1, la méthode est particulièrement familière. Pour factoriser x² + 5x + 6, cherchez deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme 5. Ce sont 2 et 3, d'où (x + 2)(x + 3). Lorsque le coefficient dominant n'est pas 1, il faut aussi considérer les coefficients de x dans les deux binômes. Pour 2x² - 3x - 2, le produit (x - 2)(2x + 1) convient, car les produits extérieurs et intérieurs donnent ensemble -3x. Ce calculateur recherche des couples exacts de facteurs entiers, y compris négatifs, et accepte une constante nulle. Il est conçu pour les trinômes factorisables à coefficients entiers. Si aucune combinaison entière ne reproduit le coefficient central, il indique que cette factorisation est impossible sur les entiers. Cela ne signifie pas que le polynôme n'a pas de racines : elles peuvent être irrationnelles ou complexes, auquel cas la formule du second degré est plus adaptée. La factorisation est utile car un produit révèle immédiatement les zéros d'une équation du second degré. Si (x + 2)(x + 3) vaut zéro, la règle du produit nul donne x = -2 ou x = -3. La forme factorisée aide aussi à simplifier des fractions rationnelles, tracer des paraboles, résoudre des inéquations polynomiales et vérifier des calculs. Contrôlez toujours le résultat en multipliant les binômes : les premiers termes doivent donner ax², les derniers c, et les deux produits croisés doivent se regrouper en bx. Utilisez des valeurs entières qui préservent l'expression initiale. Le signe négatif doit figurer dans le champ du coefficient ; un terme central absent se note zéro. Il n'est pas nécessaire d'extraire d'abord les facteurs numériques communs, car la recherche peut quand même trouver deux binômes valides. Toutefois, repérer le plus grand facteur commun avant le FOIL inversé accélère souvent le calcul manuel et rend l'explication plus claire.

Exemples de FOIL inversé

Ces trinômes illustrent les coefficients positifs et négatifs, les cas unitaires et l'absence de terme central.

Trinôme	Forme factorisée	Justification
x² + 5x + 6	(x + 2)(x + 3)	2 × 3 = 6 et 2 + 3 = 5.
2x² - 3x - 2	(x - 2)(2x + 1)	Les produits croisés x et -4x donnent -3x.
x² - 9	(x - 3)(x + 3)	C'est une différence de carrés avec un coefficient central nul.
3x² - 2x - 5	(x + 1)(3x - 5)	Les produits croisés 3x et -5x donnent -2x.

Comment utiliser le calculateur de FOIL inversé

Repérez le coefficient de x² et saisissez-le comme coefficient a.
Saisissez le coefficient de x dans b, ou zéro si le terme central est absent.
Saisissez le terme constant avec son signe dans c.
Sélectionnez Calculer les facteurs pour rechercher les couples de facteurs entiers.
Multipliez les binômes affichés pour vérifier qu'ils reproduisent le trinôme initial.

Questions fréquentes sur le FOIL inversé

Que signifie FOIL inversé ?

Il s'agit de transformer un trinôme du second degré en produit de deux binômes, en inversant la multiplication des premiers, extérieurs, intérieurs et derniers termes.

Peut-on factoriser tous les trinômes ?

Tous ne se factorisent pas à coefficients entiers. Certains nécessitent des valeurs irrationnelles ou complexes ; la formule du second degré convient alors mieux.

Comment traiter une constante négative ?

Les deux facteurs constants doivent avoir des signes opposés. Leur disposition doit aussi faire coïncider la somme des produits croisés avec le coefficient central.

Et si le terme central est absent ?

Saisissez zéro pour b. Le calculateur cherchera des produits croisés qui s'annulent, comme dans une différence de carrés.

Comment vérifier la factorisation ?

Développez les binômes avec FOIL et regroupez les termes semblables. Les coefficients obtenus doivent correspondre exactement à a, b et c du trinôme initial.