Calculateur de nombres premiers entre eux

Vérifiez si deux entiers sont premiers entre eux en calculant leur plus grand commun diviseur avec l'algorithme d'Euclide.

Tester la primalité entre deux nombres

Saisissez deux entiers pour trouver leur plus grand commun diviseur.

Premier entier

Deuxième entier

À propos des nombres premiers entre eux

Deux entiers sont premiers entre eux, ou copremiers, lorsque leur plus grand commun diviseur vaut exactement un. Chacun n'a pas besoin d'être premier. Par exemple, 14 et 25 sont tous deux composés : 14 possède les facteurs 2 et 7, et 25 le facteur 5, mais ils ne partagent aucun facteur positif autre que 1. À l'inverse, 18 et 24 partagent les facteurs 2, 3 et 6 ; leur plus grand commun diviseur vaut 6 et ils ne sont pas premiers entre eux. Ce calculateur trouve le plus grand commun diviseur grâce à l'algorithme d'Euclide. Il part des valeurs absolues des deux entiers et remplace à chaque étape le couple courant par le diviseur et le reste. Pour 18 et 24, les divisions produisent des restes qui aboutissent à 6, puis à 0. Le dernier reste non nul est le plus grand commun diviseur. L'algorithme reste efficace pour de grands entiers, car chaque reste réduit rapidement la taille du calcul suivant. Être premiers entre eux est une relation entre nombres, et non une propriété d'un nombre isolé. L'entier 8 est premier avec 15 puisque leur PGCD vaut 1, mais pas avec 12, car ils partagent le facteur 4. Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux : tout diviseur commun de n et de n plus 1 doit aussi diviser leur différence, qui vaut 1. De même, tout entier est premier avec 1. Les nombres premiers entre eux sont essentiels à la simplification des fractions. Une fraction est irréductible exactement lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. On les retrouve aussi en arithmétique modulaire, dans l'indicatrice d'Euler, les motifs cycliques, les rapports d'engrenages et la cryptographie à clé publique. Dans les mathématiques de type RSA, choisir des valeurs dont le PGCD vaut un garantit l'existence d'un inverse modulaire. Les nombres négatifs sont acceptés, car le signe ne change pas les facteurs positifs communs ; le calcul utilise les valeurs absolues. Zéro demande une attention particulière. Le PGCD de zéro et d'un entier non nul est la valeur absolue de cet entier : zéro est donc premier uniquement avec 1 ou moins 1. L'outil rejette le couple zéro et zéro, dont le PGCD n'est pas défini dans la convention retenue ici. Utilisez des entiers, car la primalité relative et la divisibilité sont des notions discrètes de théorie des nombres.

Exemples de nombres premiers entre eux

Le plus grand commun diviseur détermine chaque réponse.

Couple d'entiers	Résultat	Raison
14 et 25	Premiers entre eux	Leur plus grand commun diviseur vaut 1.
18 et 24	Non premiers entre eux	Les deux nombres sont divisibles par 6.
35 et 64	Premiers entre eux	Ils n'ont aucun facteur premier commun.
0 et 1	Premiers entre eux	Le plus grand commun diviseur de 0 et 1 vaut 1.

Comment vérifier si des nombres sont premiers entre eux

Saisissez le premier entier, avec son signe négatif s'il y a lieu.
Saisissez le deuxième entier.
Sélectionnez Tester la primalité entre deux nombres.
Vérifiez si le plus grand commun diviseur affiché vaut un.

Questions fréquentes sur les nombres premiers entre eux

Les deux nombres doivent-ils être premiers ?

Non. Ils doivent seulement n'avoir aucun facteur commun supérieur à un. Deux nombres composés comme 8 et 15 peuvent donc être premiers entre eux.

Deux entiers consécutifs sont-ils toujours premiers entre eux ?

Oui. Tout diviseur commun doit diviser leur différence, qui vaut un. Chaque couple d'entiers consécutifs a donc un PGCD égal à un.

Le nombre 1 est-il premier avec tout entier ?

Oui. Le seul facteur positif de 1 est 1 lui-même ; son PGCD avec tout entier vaut donc 1.

Zéro peut-il être premier avec un autre nombre ?

Zéro est premier avec 1 et moins 1, car leur PGCD vaut 1. Avec tout autre entier non nul, le PGCD est supérieur à un ; le couple de deux zéros est rejeté.

À quoi servent les nombres premiers entre eux ?

Ils permettent de reconnaître les fractions irréductibles et garantissent des inverses modulaires dans de nombreux cas. Cette relation est aussi fondamentale en théorie des nombres et en cryptographie.