Weibull-Verteilungsrechner - PDF, CDF & Zuverlässigkeit

Berechnen Sie PDF, CDF, Zuverlässigkeitsfunktion, Ausfallrate, Mittelwert, Median, Modus und Varianz der Weibull-Verteilung aus beliebigen Form- und Skalierungsparametern.

Geben Sie den Formparameter k, den Skalenparameter λ und einen Wert x ein, um eine vollständige Weibull-Analyse einschließlich Ausfallwahrscheinlichkeit und Zuverlässigkeit zu erhalten.

Weibull-Verteilungsrechner - PDF, CDF & Zuverlässigkeit
Berechnen Sie PDF, CDF, Zuverlässigkeitsfunktion, Ausfallrate, Mittelwert, Median, Modus und Varianz der Weibull-Verteilung aus beliebigen Form- und Skalierungsparametern.

Über den Weibull-Verteilungsrechner

Die Weibull-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, benannt nach dem schwedischen Ingenieur und Mathematiker Waloddi Weibull, der sie 1951 zur Modellierung von Materialfestigkeit und Ermüdung verwendete. Heute ist sie eine der wichtigsten Verteilungen in der Zuverlässigkeitstechnik, Überlebensanalyse, Windgeschwindigkeitsmodellierung und Extremwerttheorie, weil ihr Formparameter k steigende, konstante oder abnehmende Ausfallraten in einer einzigen flexiblen Familie abbilden kann — drei sehr unterschiedliche physikalische Verhaltensweisen. Die Verteilung wird durch zwei Parameter definiert. Der Formparameter k (manchmal als β geschrieben) bestimmt, ob die Ausfallrate steigt, fällt oder konstant bleibt. Bei k > 1 steigt die Ausfallrate mit der Zeit — das modelliert typische Verschleißausfälle mechanischer Komponenten, bei denen sich Teile durch Nutzung verschlechtern. Bei k = 1 reduziert sich die Weibull-Verteilung exakt auf die Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate und modelliert rein zufällige Ausfälle, etwa von Elektronik mit einer stabilen Hintergrundrate. Bei k < 1 sinkt die Ausfallrate mit der Zeit — das modelliert Frühausfälle, bei denen fehlerhafte Teile früh ausfallen und die Überlebenden zuverlässiger werden. Der Skalenparameter λ (manchmal als η geschrieben) ist die charakteristische Lebensdauer: Bei x = λ beträgt die CDF unabhängig von k immer 1 − e⁻¹ ≈ 63,2 %. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) f(x) gibt die relative Wahrscheinlichkeit an, genau zum Zeitpunkt x einen Ausfall zu beobachten. Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Komponente bis zum Zeitpunkt x ausgefallen ist — auch Unzuverlässigkeit genannt. Die Zuverlässigkeitsfunktion R(x) = 1 − F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, über den Zeitpunkt x hinaus zu überleben, und ist die zentrale Kennzahl für Garantie- und Wartungsplanung. Die Ausfallrate h(x) = f(x) / R(x) ist die momentane Ausfallrate zum Zeitpunkt x unter der Bedingung, bis dahin überlebt zu haben; in der Technik wird sie auch Hazard-Funktion genannt. Der Mittelwert der Weibull-Verteilung ist λ · Γ(1 + 1/k), wobei Γ die Gammafunktion ist. Der Median ist λ · (ln 2)^(1/k). Der Modus (wahrscheinlichste Ausfallzeit) ist λ · ((k−1)/k)^(1/k) für k > 1 und null für k ≤ 1. Die Varianz ist λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²]. Weibull-Analysen werden in Flottenwartung, Zertifizierung von Flugzeugkomponenten, Windenergie-Ressourcenbewertung, Abschätzung von Erdbeben-Wiederkehrzeiten und Krebs-Überlebensstudien eingesetzt. Dieser Rechner führt alle Standard-Weibull-Berechnungen in einem Schritt aus und verwendet die Lanczos-Approximation für die Gammafunktion, um über einen breiten Parameterbereich hinweg hohe numerische Genauigkeit zu gewährleisten.

Weibull-Verteilungsbeispiele

Drei Industrieszenarien zeigen, wie die Weibull-Verteilung Ausfall und Zuverlässigkeit modelliert.

ParameterCDF F(x)Details
k=2.1, λ=8500, x=7000F(7000) ≈ 0.485Etwa 48,5 % der Lager fallen vor 7000 Stunden aus. Bei k > 1 steigt die Ausfallrate mit dem Alter (Verschleißbereich).
k=1.8, λ=12 mph, x=15 mphF(15) ≈ 0.776Die Wahrscheinlichkeit, dass die tägliche mittlere Windgeschwindigkeit bei höchstens 15 mph liegt, beträgt etwa 77,6 %. In vielen Regionen folgen Windgeschwindigkeiten einer Weibull-Verteilung mit k ≈ 1,5–2,5.
k=1, λ=500, x=500F(500) ≈ 0.632Wenn k=1, reduziert sich Weibull auf die Exponentialverteilung. Bei x=λ gilt unabhängig von k: F(x) = 1 − e⁻¹ ≈ 63,2 % — das ist die definierende Eigenschaft von λ.

So verwenden Sie den Weibull-Verteilungsrechner

  1. Geben Sie den Formparameter k ein — Werte über 1 modellieren Verschleiß, k=1 ist exponentiell, Werte unter 1 modellieren Frühausfälle.
  2. Geben Sie den Skalenparameter λ ein, der die charakteristische Lebensdauer darstellt (der Zeitpunkt, bis zu dem etwa 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind).
  3. Geben Sie den Wert x ein, an dem die Verteilung bewertet werden soll — typischerweise Zeit, Strecke oder Belastungsniveau.
  4. Klicken Sie auf Berechnen, um PDF, CDF, Zuverlässigkeit, Ausfallrate, Mittelwert, Median, Modus, Varianz und Standardabweichung zu erhalten.
  5. Verwenden Sie die Beispielschaltflächen, um vordefinierte technische oder Umwelt-Szenarien sofort zu laden.

Weibull-Verteilung FAQ

Was bedeutet der Formparameter k in der Praxis?
Der Formparameter k bestimmt das Muster der Ausfallrate. Bei k < 1 sinkt die Ausfallrate mit der Zeit — frühe Defekte dominieren. Bei k = 1 ist die Ausfallrate konstant — rein zufällige Ausfälle. Bei k > 1 steigt die Ausfallrate — Verschleiß ist der dominierende Ausfallmechanismus. Die meisten mechanischen Komponenten haben k zwischen 1 und 4.
Was ist die Zuverlässigkeitsfunktion und wie verwende ich sie?
Die Zuverlässigkeit R(x) = 1 − F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Komponente über den Zeitpunkt x hinaus überlebt. Für Wartungspläne oder Garantiezeiträume wählen Sie eine akzeptable Ausfallwahrscheinlichkeit und lösen nach dem entsprechenden x. Beispiel: R(x) = 0,90 bedeutet, dass 90 % der Einheiten voraussichtlich über x hinaus überleben.
Warum liegt die CDF bei x=λ immer bei etwa 63,2 %?
Bei x = λ wird der Exponent in der CDF-Formel zu (λ/λ)^k = 1, also F(λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0,6321. Das gilt für jeden k-Wert und macht λ zur universellen charakteristischen Lebensdauer: 63,2 % der Einheiten sind bis zum Skalenparameter ausgefallen, unabhängig von der Form.
Was ist die Ausfallrate und wann ist sie wichtig?
Die Ausfallrate h(x) ist die momentane Ausfallrate zum Zeitpunkt x, gegeben das Überleben bis dahin. In der Zuverlässigkeitstechnik wird sie für vorbeugende Wartung genutzt. Wenn h(x) steigt (k > 1), ist es kosteneffizient, Teile vor Erreichen eines hohen Ausfallalters zu ersetzen. Wenn h(x) konstant ist (k = 1), spielt der Austauschzeitpunkt statistisch keine Rolle.
Worin unterscheidet sich der Mittelwert der Weibull-Verteilung vom Skalenparameter?
Der Skalenparameter λ ist der Zeitpunkt, an dem 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind — nicht die mittlere Lebensdauer. Der Mittelwert ist λ · Γ(1 + 1/k). Bei k=1 (Exponentialverteilung) gilt Mittelwert = λ. Bei k=2 beträgt der Mittelwert etwa 0,886 λ. Bei k=3,44 liegt der Mittelwert ungefähr bei λ. Je nach Form liegt der Mittelwert also über oder unter λ.