Rayleigh-Verteilungsrechner - PDF, CDF & Statistik

Die Rayleigh-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung für nichtnegative Zufallsvariablen. Sie wurde ursprünglich von Lord Rayleigh im Zusammenhang mit Schallwellenamplituden hergeleitet. Sie wird vollständig durch einen einzigen Parameter σ (den Skalenparameter) beschrieben, der zugleich den Modus der Verteilung — den wahrscheinlichsten Wert — darstellt und die Streuung der gesamten Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) lautet f(x; σ) = (x/σ²) · exp(−x²/(2σ²)) für x ≥ 0. Diese glockenähnliche Form steigt bei x = 0 von null an, erreicht bei x = σ ihr Maximum und fällt dann asymptotisch wieder gegen null ab. Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) ist F(x; σ) = 1 − exp(−x²/(2σ²)) und gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsbeobachtung kleiner oder gleich x ist. Die ergänzende CDF (CCDF = 1 − CDF) gibt die Wahrscheinlichkeit an, einen Wert strikt größer als x zu beobachten — oft auch Überlebensfunktion genannt und in Zuverlässigkeits- und Nachrichtentechnik zentral. Die Rayleigh-Verteilung ist ein Sonderfall der zweiparametrigen Weibull-Verteilung mit Formparameter k = 2. Sie steht außerdem in enger Beziehung zur Normalverteilung: Wenn zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y jeweils normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz σ² sind, dann folgt der Betrag R = √(X² + Y²) einer Rayleigh-Verteilung mit Skalenparameter σ. Diese geometrische Interpretation macht sie zum natürlichen Modell für die Amplitude eines zweidimensionalen Zufallsvektors. In der drahtlosen Kommunikation beschreibt das Rayleigh-Fading-Modell, wie sich Funksignale in Umgebungen mit vielen Streuern und ohne dominante Sichtverbindung ausbreiten. Wenn ein gesendetes Signal vor dem Empfang an Gebäuden, Fahrzeugen und Gelände reflektiert wird, folgt die Hüllkurve des empfangenen Signals einer Rayleigh-Verteilung. Ingenieure nutzen dieses Modell zur Berechnung von Link-Budgets, zur Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten und zur Entwicklung fehlerkorrigierender Codes. Der Parameter σ wird aus Signalmessungen geschätzt und direkt in Systemsimulationen verwendet. In Ozeanographie und Meteorologie modelliert die Verteilung signifikante Wellenhöhen und Spitzenwindgeschwindigkeiten an einem Standort. Durch die Anpassung von σ an historische Daten können Ingenieure und Wissenschaftler die Wahrscheinlichkeit extremer Ereignisse abschätzen — etwa die Wahrscheinlichkeit, dass eine Wellenhöhe bei einem 50-Jahres-Sturm einen Sicherheitsgrenzwert überschreitet. Ähnliche Anwendungen finden sich im Design von Offshore-Anlagen, in Küstenhochwassermodellen und bei der Standortwahl von Windkraftanlagen. In der Zuverlässigkeits­technik dient die Rayleigh-Verteilung als Lebensdauermodell für Bauteile, die durch kumulative Schäden mehrerer unabhängiger Belastungsfaktoren beansprucht werden. Anders als die Exponentialverteilung steigt die Ausfallrate der Rayleigh-Verteilung linear mit der Zeit (h(t) = t/σ²), was bedeutet, dass ältere Bauteile häufiger ausfallen — ein realistisches Modell für Verschleißmechanismen wie Materialermüdung und Korrosion. Die wichtigsten Kennzahlen sind: Mittelwert = σ√(π/2) ≈ 1,2533σ; Median = σ√(2 ln 2) ≈ 1,1774σ; Modus = σ; Varianz = (4 − π)/2 · σ² ≈ 0,4292σ². Der Mittelwert liegt immer über dem Modus und spiegelt die Rechtsschiefe der Verteilung wider. Die Varianz wächst quadratisch mit σ, sodass eine Verdopplung von σ die Streuung vervierfacht.