Münzwurf-Serienrechner: Kopf und Zahl

Eine Serie — auch Run genannt — ist eine Folge gleicher, aufeinanderfolgender Ergebnisse. Das einfachste Beispiel ist eine Serie von k Köpfen in Folge beim Werfen einer fairen Münze. So simpel das klingt, die Mathematik von Serien beruht auf erstaunlich tiefen Ergebnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie und findet Anwendung von der Sportanalyse bis zum Finanzrisiko‑Modellieren. Die Wahrscheinlichkeit, irgendwo in n Münzwürfen mindestens eine Serie von k Köpfen zu erhalten, lässt sich nicht mit einer einfachen Binomialformel berechnen. Man muss an jedem Punkt verfolgen, wie nah man an der vollständigen Serie ist — genau dafür eignet sich dynamische Programmierung. Dieser Rechner verwendet genau diesen Ansatz: Er führt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die bisher erreichte Anzahl aufeinanderfolgender Köpfe, aktualisiert sie mit jedem neuen Wurf und summiert nach n Würfen die Wahrscheinlichkeit auf, die in den Zustand 'Serie vollständig' absorbiert wurde. Die erwartete Anzahl an Würfen bis zur ersten Serie von k Köpfen hat für eine faire Münze (p = 0.5) eine elegante geschlossene Form: E_k = 2(2^k − 1). Für k = 1 erwartet man im Mittel 2 Würfe bis zum ersten Kopf, was korrekt ist, da E[geometrisch(0.5)] = 1/0.5 = 2. Bei 3 Köpfen in Folge sind es 2(2^3 − 1) = 14 Würfe. Bei k = 10 liegt der Erwartungswert bereits bei 2.046 Würfen — ein Zeichen dafür, wie viel seltener lange Serien sind, als man intuitiv vermutet. Für 'beliebig'-Serien (k gleiche Ergebnisse in Folge, egal ob Kopf oder Zahl) beträgt die erwartete Anzahl an Würfen 2^k − 1. Das ist kürzer, weil jeder erste Wurf eine potenzielle Serie in diese Richtung starten kann. Für k = 3 beträgt die Wartezeit nur 7 Würfe im Vergleich zu 14 bei einer spezifischen Kopfserie. Intuitiv kann die Serie in beide Richtungen entstehen, wodurch sich die Chancen praktisch verdoppeln. Serienberechnungen sind in vielen Praxisfeldern relevant. Im Sport spricht man bei einem Basketballspieler, der die letzten 5 Würfe in Folge getroffen hat, davon, dass er 'heiß' ist. Die Statistik zum 'Hot-Hand'-Phänomen zeigt, dass zwar gewisse echte Korrelationen existieren, aber ein Großteil dessen, was Fans als Serienhaftigkeit wahrnehmen, einfach die natürliche Häufung zufälliger Prozesse ist. In der Finanzwelt wirkt ein Fonds, der den Markt 5 Jahre in Folge schlägt, beeindruckend — mit Tausenden von Fonds ist das unter der Nullhypothese 'kein Können' statistisch jedoch zu erwarten. Der Serienrechner hilft dir einzuschätzen, ob eine beobachtete Erfolgsserie angesichts der Anzahl an Chancen überraschend ist. Beim Glücksspiel helfen Serienwahrscheinlichkeiten, realistische Erwartungen zu setzen. Die Wahrscheinlichkeit, in 100 Würfen 10 Köpfe in Folge zu erhalten, liegt bei etwa 4,4 % — niedriger, als viele Spieler anhand der vielen möglichen Startpositionen vermuten. Die Wahrscheinlichkeit, in 1.000 Würfen 20 Köpfe in Folge zu erhalten, beträgt nur etwa 0,05 % und ist trotz der großen Zahl an Versuchen wirklich selten. Dieser Rechner unterstützt Serienlängen von 1 bis 100 und im Wahrscheinlichkeitsmodus bis zu 100.000 Würfe und deckt damit alles von Übungsaufgaben bis zu groß angelegten Simulationsstudien ab.