Gleichverteilungsrechner - PDF, CDF und Mittelwert
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die kumulative Verteilungsfunktion, den Mittelwert, die Varianz und die Intervallwahrscheinlichkeit jeder stetigen Gleichverteilung.
Geben Sie den Mindestwert a und den Höchstwert b ein. Optional können Sie einen Punkt x für die CDF oder die untere und obere Grenze x1/x2 für die Intervallwahrscheinlichkeit eingeben.
Gleichverteilungsrechner - PDF, CDF und Mittelwert
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, die kumulative Verteilungsfunktion, den Mittelwert, die Varianz und die Intervallwahrscheinlichkeit jeder stetigen Gleichverteilung.
Optional — x eingeben, um P(X ≤ x) zu berechnen.
Optional — sowohl x1 als auch x2 eingeben, um P(x1 ≤ X ≤ x2) zu berechnen.
Über die Gleichverteilung
Die stetige Gleichverteilung, manchmal auch Rechtecksverteilung genannt, beschreibt eine Situation, in der jeder Wert in einem gegebenen Intervall [a, b] mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten kann. Sie ist die einfachste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung und dient als kanonisches Modell für Phänomene, bei denen alle Ergebnisse in einem Bereich gleich wahrscheinlich sind — etwa der genaue Zeitpunkt, zu dem ein Bus innerhalb eines Zeitfensters ankommt, oder die Landeposition eines sich drehenden Rads, das zu einem zufälligen Zeitpunkt gestoppt wird.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Gleichverteilung ist im gesamten Intervall konstant: f(x) = 1/(b − a) für a ≤ x ≤ b, und sonst null. Da die Gesamtfläche unter der PDF eins ergeben muss und die Form ein flaches Rechteck ist, ist die Höhe des Rechtecks einfach der Kehrwert seiner Breite. Dadurch ist die PDF leicht zu interpretieren: Jedes Teilintervall mit derselben Breite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, unabhängig davon, wo es innerhalb von [a, b] liegt.
Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine zufällige Beobachtung einen bestimmten Wert x unterschreitet oder erreicht. Für die Gleichverteilung gilt F(x) = (x − a)/(b − a) für a ≤ x ≤ b. Sie steigt linear von null bei x = a auf eins bei x = b an und spiegelt damit die gleichmäßige Ansammlung von Wahrscheinlichkeit wider, während x das Intervall durchläuft. Um die Wahrscheinlichkeit für das Intervall [x1, x2] zu bestimmen, subtrahiert man einfach: P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), also die Breite des Teilintervalls geteilt durch die Gesamtbreite.
Der Mittelwert (Erwartungswert) der Gleichverteilung ist der Mittelpunkt des Intervalls: E[X] = (a + b)/2. Das ist intuitiv sinnvoll — wenn alle Werte gleich wahrscheinlich sind, liegt der Durchschnitt genau in der Mitte. Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert und beträgt (b − a)² / 12. Ein breiteres Intervall führt zu einer größeren Varianz und damit zu höherer Unsicherheit darüber, wo das Ergebnis liegen wird.
Die Gleichverteilung wird häufig als Ausgangspunkt oder Referenz in Simulationen, Monte-Carlo-Verfahren und bei der Zufallszahlengenerierung verwendet. Pseudozufallszahlengeneratoren erzeugen typischerweise Gleichverteilungen auf [0, 1], die anschließend mit der inversen-CDF-Methode in andere Verteilungen transformiert werden können. In der Bayes-Statistik drückt ein Gleichverteilung-Prior einen Zustand völliger Unkenntnis über einen Parameter innerhalb eines bekannten Bereichs aus. In der Zuverlässigkeitstechnik und Planung modelliert sie unbekannte Ankunfts- oder Ausfallzeiten, wenn nur der Bereich bekannt ist.
Das Verständnis der Gleichverteilung bildet auch eine Grundlage für komplexere stetige Verteilungen. Ihre Einfachheit macht sie ideal, um die Konzepte von PDF, CDF, Erwartungswert und Varianz zu vermitteln, bevor Normal-, Exponential- oder Beta-Verteilungen eingeführt werden.
Beispiele für die Gleichverteilung
Durchgerechnete Beispiele mit den Formeln der Gleichverteilung für typische Szenarien.
| Parameter | Kernkennzahlen | Anwendung |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | Die Standardgleichverteilung U(0,1), Grundlage aller Pseudozufallszahlengeneratoren und der inversen CDF-Transformation. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Ein Bus kommt gleichverteilt zwischen 2 und 10 Minuten an. Die durchschnittliche Wartezeit beträgt 6 Minuten, und die Varianz ist (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Eine zufällige Minute innerhalb einer Stunde. Die Wahrscheinlichkeit, zwischen Minute 20 und 40 zu landen, ist (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
So verwenden Sie den Gleichverteilungsrechner
- Geben Sie im ersten Feld den Mindestwert a und im zweiten Feld den Höchstwert b ein. Achten Sie darauf, dass b strikt größer als a ist.
- Klicken Sie auf Berechnen, um PDF, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung Ihrer Verteilung sofort anzuzeigen.
- Optional können Sie im CDF-Feld einen Wert x eingeben, um P(X ≤ x) zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable höchstens x beträgt.
- Optional können Sie sowohl x1 als auch x2 eingeben, um die Intervallwahrscheinlichkeit P(x1 ≤ X ≤ x2) zu berechnen.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um alle Felder zu leeren und eine neue Berechnung zu starten.
FAQ zur Gleichverteilung
Wofür wird die Gleichverteilung verwendet?
Die Gleichverteilung modelliert Situationen, in denen alle Ergebnisse in einem Bereich gleich wahrscheinlich sind. Typische Anwendungen sind Zufallszahlengenerierung, Simulationsstudien, bayessche uninformative Priors und Planungs- oder Ankunftszeitmodelle, wenn nur der mögliche Wertebereich bekannt ist.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall?
Für eine Gleichverteilung auf [a, b] ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in [x1, x2] liegt, einfach (x2 − x1) / (b − a). Das ist proportional zur Breite des Teilintervalls relativ zum Gesamtbereich und spiegelt die flache PDF wider.
Was ist der Unterschied zwischen PDF und CDF bei der Gleichverteilung?
Die PDF gibt die Dichte an einem einzelnen Punkt an und ist für jeden Punkt in [a, b] gleich 1/(b−a). Die CDF gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu einem Punkt x an und ist gleich (x−a)/(b−a). Bei stetigen Verteilungen sind Wahrscheinlichkeiten nur über Intervalle sinnvoll, nicht an einzelnen Punkten.
Warum ist die Varianz (b−a)²/12?
Die Varianz wird durch Integration von (x − Mittelwert)² × f(x) über [a, b] hergeleitet, wobei f(x) = 1/(b−a) ist. Die Rechnung vereinfacht sich zu (b−a)²/12. Ein breiteres Intervall erhöht die Varianz proportional zum Quadrat der Breite, da die Werte weiter vom Mittelwert entfernt liegen.
Ist die Gleichverteilung dasselbe wie gleichwahrscheinliche Ergebnisse?
Für stetige Zufallsvariablen ja. Die Gleichverteilung ist das stetige Gegenstück zu einem fairen Würfel oder einer zufälligen Ziehung — jedes Teilintervall gleicher Länge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Im stetigen Fall ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punkts jedoch null; nur Intervallwahrscheinlichkeiten sind ungleich null.
Wie hängt die Standardgleichverteilung U(0,1) mit anderen Verteilungen zusammen?
Die Standardgleichverteilung U(0,1) ist der Baustein zur Erzeugung jeder stetigen Verteilung. Wenn U gleichverteilt auf [0,1] ist und F die CDF der Zielverteilung ist, dann folgt F⁻¹(U) der Zielverteilung. Diese inverse Transformationsmethode ist die Grundlage der meisten Zufalls-Stichprobenalgorithmen.