Gleichverteilungsrechner - PDF, CDF und Mittelwert
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion, den Mittelwert, die Varianz und die Intervallwahrscheinlichkeit für jede kontinuierliche Gleichverteilung.
Geben Sie den Minimalwert a und den Maximalwert b ein. Optional können Sie einen Punkt x für die CDF oder die untere und obere Grenze x1/x2 für die Intervallwahrscheinlichkeit eingeben.
Gleichverteilungsrechner - PDF, CDF und Mittelwert
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, Verteilungsfunktion, den Mittelwert, die Varianz und die Intervallwahrscheinlichkeit für jede kontinuierliche Gleichverteilung.
Optional — x eingeben, um P(X ≤ x) zu berechnen.
Optional — sowohl x1 als auch x2 eingeben, um P(x1 ≤ X ≤ x2) zu berechnen.
Über die Gleichverteilung
Die kontinuierliche Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung genannt, beschreibt eine Situation, in der jeder Wert in einem gegebenen Intervall [a, b] gleich wahrscheinlich ist. Sie ist die einfachste kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung und dient als kanonisches Modell für Phänomene, bei denen alle Ergebnisse innerhalb eines Bereichs gleich wahrscheinlich sind — etwa der genaue Zeitpunkt, zu dem ein Bus innerhalb eines Zeitfensters ankommt, oder die Landeposition eines Rads, das zu einem zufälligen Zeitpunkt gestoppt wird.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) der Gleichverteilung ist im gesamten Intervall konstant: f(x) = 1/(b − a) für a ≤ x ≤ b und sonst 0. Da die gesamte Fläche unter der PDF eins ergeben muss und die Form ein flaches Rechteck ist, ist die Höhe des Rechtecks einfach der Kehrwert der Breite. Das macht die PDF leicht verständlich: Jeder Teilbereich mit derselben Breite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, unabhängig davon, wo er innerhalb von [a, b] liegt.
Die Verteilungsfunktion (CDF) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsbeobachtung bei oder unter einem bestimmten Wert x liegt. Für die Gleichverteilung gilt F(x) = (x − a)/(b − a) für a ≤ x ≤ b. Sie steigt linear von null bei x = a auf eins bei x = b an und spiegelt die stetige Ansammlung von Wahrscheinlichkeit wider, während x das Intervall durchläuft. Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass der Wert in ein Intervall [x1, x2] fällt, subtrahiert man einfach: P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), also die Breite des Teilintervalls geteilt durch die Gesamtbreite.
Der Mittelwert (Erwartungswert) der Gleichverteilung ist der Mittelpunkt des Intervalls: E[X] = (a + b)/2. Das ist intuitiv sinnvoll — wenn alle Werte gleich wahrscheinlich sind, liegt der Durchschnitt genau in der Mitte. Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert und beträgt (b − a)² / 12. Ein breiteres Intervall führt zu einer größeren Varianz und damit zu größerer Unsicherheit darüber, wo das Ergebnis liegen wird.
Die Gleichverteilung wird häufig als Ausgangspunkt oder Referenz in Simulationen, Monte-Carlo-Verfahren und der Zufallszahlengenerierung verwendet. Pseudozufallszahlengeneratoren erzeugen typischerweise gleichverteilte Zufallsvariablen auf [0, 1], die dann mit der inversen CDF-Methode in andere Verteilungen überführt werden können. In der Bayes-Statistik drückt ein Gleichverteilungs-Prior einen Zustand vollständiger Unkenntnis über einen Parameter innerhalb eines bekannten Bereichs aus. In der Zuverlässigkeitstechnik und in der Planung modelliert sie unbekannte Ankunfts- oder Ausfallzeiten, wenn nur der Bereich bekannt ist.
Das Verständnis der Gleichverteilung schafft auch eine Grundlage für das Erfassen komplexerer kontinuierlicher Verteilungen. Ihre Einfachheit macht sie ideal, um die Konzepte von PDF, CDF, Erwartungswert und Varianz zu lehren, bevor Normal-, Exponential- oder Beta-Verteilungen eingeführt werden.
Beispiele für die Gleichverteilung
Durchgerechnete Beispiele mit den Formeln der Gleichverteilung für typische Szenarien.
| Parameter | Kennzahlen | Anwendung |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | Die Standard-Gleichverteilung U(0,1), Grundlage aller Pseudozufallszahlengeneratoren und der inversen CDF-Transformation. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Ein Bus kommt gleichmäßig zwischen 2 und 10 Minuten an. Die durchschnittliche Wartezeit beträgt 6 Minuten, und die Varianz ist (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Eine zufällige Minute innerhalb einer Stunde. Die Wahrscheinlichkeit, zwischen Minute 20 und 40 zu landen, beträgt (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
So verwenden Sie den Gleichverteilungsrechner
- Geben Sie im ersten Feld den Minimalwert a und im zweiten Feld den Maximalwert b ein. Stellen Sie sicher, dass b strikt größer als a ist.
- Klicken Sie auf Berechnen, um sofort PDF, Mittelwert, Varianz und Standardabweichung Ihrer Verteilung anzuzeigen.
- Optional können Sie im CDF-Feld einen Wert x eingeben, um P(X ≤ x) zu berechnen, also die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable höchstens x ist.
- Optional können Sie sowohl x1 als auch x2 eingeben, um die Intervallwahrscheinlichkeit P(x1 ≤ X ≤ x2) zu berechnen.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um alle Felder zu löschen und eine neue Berechnung zu starten.
FAQ zur Gleichverteilung
Wofür wird die Gleichverteilung verwendet?
Die Gleichverteilung modelliert Situationen, in denen jedes Ergebnis innerhalb eines Bereichs gleich wahrscheinlich ist. Typische Anwendungen sind Zufallszahlengenerierung, Simulationen, bayessche nichtinformative Priors sowie Planungs- oder Ankunftszeitmodelle, wenn nur der mögliche Bereich bekannt ist.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall?
Für eine Gleichverteilung auf [a, b] ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in [x1, x2] liegt, einfach (x2 − x1) / (b − a). Sie ist proportional zur Breite des Teilintervalls relativ zum Gesamtbereich und spiegelt die flache PDF wider.
Was ist der Unterschied zwischen PDF und CDF bei der Gleichverteilung?
Die PDF gibt die Dichte an einem einzelnen Punkt an und ist für jeden Punkt in [a, b] gleich 1/(b−a). Die CDF gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu einem Punkt x an und ist (x−a)/(b−a). Bei kontinuierlichen Verteilungen sind Wahrscheinlichkeiten nur über Intervalle sinnvoll, nicht an einzelnen Punkten.
Warum ist die Varianz (b−a)²/12?
Die Varianz wird durch Integration von (x − Mittelwert)² × f(x) über [a, b] hergeleitet, wobei f(x) = 1/(b−a) ist. Die Rechnung vereinfacht sich zu (b−a)²/12. Ein breiteres Intervall erhöht die Varianz proportional zum Quadrat der Breite, da die Werte weiter vom Mittelwert entfernt liegen.
Ist die Gleichverteilung dasselbe wie gleich wahrscheinliche Ergebnisse?
Für kontinuierliche Zufallsvariablen: ja. Die Gleichverteilung ist das kontinuierliche Gegenstück zu einem fairen Würfel oder einer Zufallsziehung — jeder Teilbereich gleicher Länge hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Im kontinuierlichen Fall ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punkts jedoch null; nur Intervallwahrscheinlichkeiten sind ungleich null.
Wie hängt die Standard-Gleichverteilung U(0,1) mit anderen Verteilungen zusammen?
Die Standard-Gleichverteilung U(0,1) ist der Baustein zur Erzeugung jeder kontinuierlichen Verteilung. Ist U auf [0,1] gleichverteilt und F die CDF einer Zielverteilung, dann folgt F⁻¹(U) dieser Zielverteilung. Diese inverse Transformationsmethode ist die Grundlage der meisten Zufallsstichproben-Algorithmen.