Erwartungswert-Rechner

Der Erwartungswert, auch mathematischer Erwartungswert oder Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt, ist eines der wichtigsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Er beschreibt den langfristigen Durchschnittsausgang eines Zufallsexperiments, wenn es unter identischen Bedingungen sehr oft wiederholt würde. Für eine diskrete Zufallsvariable X mit den Ergebnissen x₁, x₂, …, xₙ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂, …, pₙ ist der Erwartungswert definiert als E[X] = Σ xᵢ pᵢ. Der Erwartungswert ist nicht zwingend ein Wert, den die Zufallsvariable tatsächlich annehmen kann — er ist ein gewichteter Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse. So hat beispielsweise das Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels einen Erwartungswert von 3.5, obwohl 3.5 keine Würfelseite ist. Diese Deutung als Langzeitmittel wird durch das Gesetz der großen Zahlen formalisiert, das besagt, dass der Stichprobenmittelwert mit zunehmender Anzahl von Versuchen gegen den Erwartungswert konvergiert. Dieser Rechner berechnet außerdem die Varianz Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − (E[X])², die misst, wie stark die Verteilung um ihren Mittelwert streut. Die Standardabweichung σ = √Var(X) ist die Quadratwurzel der Varianz und wird in denselben Einheiten wie X angegeben, wodurch sie sich in der Praxis leichter interpretieren lässt. Der Erwartungswert hat unzählige Anwendungen in Wissenschaft, Wirtschaft, Finanzen und Technik. In der Entscheidungstheorie bildet er die Grundlage für die Maximierung des erwarteten Nutzens — die Idee, dass rationale Akteure die Handlung mit dem höchsten erwarteten Nutzen wählen. In der Versicherungswirtschaft verwenden Aktuare den Erwartungswert zur Preisgestaltung von Policen: Die Prämie muss die erwartete Auszahlung sowie Betriebs- und Gewinnmargen decken. In der Spieledesign-Praxis entscheidet der Erwartungswert darüber, ob ein Spiel fair ist. In der Portfoliotheorie ist die erwartete Rendite eines Portfolios der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen seiner Vermögenswerte. Achten Sie bei der Verwendung des Rechners darauf, dass alle Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sind und sich innerhalb einer kleinen Toleranz exakt zu 1 addieren. Wenn die Wahrscheinlichkeiten nicht 1 ergeben, ist die Verteilung nicht korrekt definiert und die Berechnung des Erwartungswerts ist nicht sinnvoll. Häufige Fehler sind die Eingabe von Prozentwerten statt Dezimalwahrscheinlichkeiten (z. B. 25 statt 0.25) oder das Vergessen möglicher Ergebnisse.