Drehimpuls-Rechner – Punktmasse und starrer Körper
Berechnen Sie den Drehimpuls L mit L = m × v × r für eine Punktmasse oder L = I × ω für einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht.
Wählen Sie den Objekttyp, geben Sie die benötigten Werte ein und berechnen Sie den Drehimpuls sofort in kg·m²/s.
Drehimpuls-Rechner – Punktmasse und starrer Körper
Berechnen Sie den Drehimpuls L mit L = m × v × r für eine Punktmasse oder L = I × ω für einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht.
Über den Drehimpuls-Rechner
Der Drehimpuls ist eine grundlegende Erhaltungsgröße der Physik, die die Rotationsträgheit eines Systems beschreibt. So wie der lineare Impuls p = mv die Trägheit eines sich geradlinig bewegenden Körpers beschreibt, quantifiziert der Drehimpuls L die Tendenz eines rotierenden oder umlaufenden Objekts, seine Rotation beizubehalten. Die SI-Einheit ist kg·m²/s und entspricht J·s (Joule-Sekunden).
Für eine Punktmasse auf einer Kreisbahn gilt L = m × v × r, wobei m die Masse in Kilogramm, v die Tangentialgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde und r der senkrechte Abstand von der Rotationsachse zur Bewegungsrichtung (der Hebelarm) in Metern ist. Diese Formel gilt für Planeten, die die Sonne umkreisen, Elektronen in Atomorbitalen (klassisch betrachtet) und kleine Objekte auf gekrümmten Bahnen.
Für einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht, gilt L = I × ω, wobei I das Trägheitsmoment in kg·m² und ω die Winkelgeschwindigkeit in rad/s ist. Dies ist das direkte rotatorische Gegenstück zum linearen Impuls, wobei I die Rolle der Masse und ω die der Geschwindigkeit übernimmt. Das Trägheitsmoment hängt sowohl von der Masse als auch von ihrer Verteilung relativ zur Drehachse ab.
Eine der wichtigsten Eigenschaften des Drehimpulses ist seine Erhaltung: Ohne äußere Drehmomente bleibt der gesamte Drehimpuls eines abgeschlossenen Systems konstant. Dieses Prinzip erklärt, warum eine Eiskunstläuferin schneller rotiert, wenn sie die Arme anzieht (eine Verringerung von I erzwingt eine größere ω), warum Kreisel ihre Orientierung behalten, warum sich die Erde weiter dreht und warum Spiralgalaxien ihre Struktur über Milliarden Jahre bewahren.
Der Drehimpuls spielt auch in der Quantenmechanik eine zentrale Rolle, wo er in Einheiten von ħ (dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum) quantisiert ist. Der Bahn- und Spin-Drehimpuls von Elektronen bestimmt den Atomaufbau, chemische Bindungen und die Auswahlregeln für spektroskopische Übergänge.
Dieser Rechner deckt zwei typische Fälle ab: eine Punktmasse mit Masse, Geschwindigkeit und Bahnradius (relevant für Bahndynamik, Kreisbewegung und Hebelarmaufgaben) sowie einen starren Körper mit Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit (relevant für Schwungräder, rotierende Scheiben, Rotoren und alle ausgedehnten rotierenden Objekte).
Drehimpuls-Beispiele
Vier Rechenbeispiele von Planetenumläufen bis zu Labor-Rotoren.
| Eingabe | Ergebnis | Hinweise |
|---|---|---|
| Planet auf Umlaufbahn: m = 1×10²⁴ kg, v = 2.98×10⁴ m/s, r = 1.5×10¹¹ m | L ≈ 4.47×10³⁹ kg·m²/s | Punktmassenmodell. L = 1e24 × 2.98e4 × 1.5e11. |
| Ball an einer Schnur: m = 0.5 kg, v = 3 m/s, r = 1.2 m | L = 1.8 kg·m²/s | Punktmasse. L = 0.5 × 3 × 1.2 = 1.8 kg·m²/s. |
| Schwungrad: I = 2.5 kg·m², ω = 10 rad/s | L = 25 kg·m²/s | Starrer Körper. L = I × ω = 2.5 × 10 = 25 kg·m²/s. |
| Erde: I = 8.04×10³⁷ kg·m², ω = 7.27×10⁻⁵ rad/s | L ≈ 5.845×10³³ kg·m²/s | Starrer-Körper-Modell für den Rotations-Drehimpuls der Erde. |
So verwenden Sie den Drehimpuls-Rechner
- Wählen Sie „Punktmasse“, wenn Sie eine Masse haben, die sich auf einer Kreisbahn mit gegebenem Radius bewegt, oder „Starrer Körper“, wenn Sie ein rotierendes Objekt mit bekanntem Trägheitsmoment haben.
- Für eine Punktmasse geben Sie die Masse m (kg), die Tangentialgeschwindigkeit v (m/s) und den senkrechten Radius r (m) ein. Das Ergebnis ist L = m × v × r.
- Für einen starren Körper geben Sie das Trägheitsmoment I (kg·m²) und die Winkelgeschwindigkeit ω (rad/s) ein. Das Ergebnis ist L = I × ω.
- Klicken Sie auf Berechnen, um den Drehimpuls L in kg·m²/s anzuzeigen. Klicken Sie auf Zurücksetzen, um alle Eingaben zu löschen.
Drehimpuls-FAQ
Was ist Drehimpuls und warum ist er wichtig?
Der Drehimpuls L ist das rotatorische Gegenstück zum linearen Impuls. Er misst, wie stark sich ein Objekt dreht und in welche Richtung. Er ist wichtig, weil er in Systemen ohne äußeres Drehmoment erhalten bleibt; dieses Gesetz erklärt Kreisel, Planetenbewegung und warum Eiskunstläufer schneller werden, wenn sie die Arme anziehen.
Was ist der Unterschied zwischen den beiden Rechenmethoden?
Die Punktmassenformel L = mvr gilt für Objekte, die als Teilchen auf einer gekrümmten Bahn betrachtet werden: umlaufende Planeten, schwingende Pendel oder Bälle an Schnüren. Die Formel für starre Körper L = Iω gilt für ausgedehnte Objekte, die sich um eine feste Achse drehen: Schwungräder, rotierende Scheiben, Turbinen und Planeten (als sich selbst drehende Körper).
Wie finde ich das Trägheitsmoment I?
Typische Werte: Vollscheibe I = ½mr²; Vollkugel I = ⅖mr²; dünner Ring I = mr²; dünner Stab um die Mitte I = (1/12)mL². Für komplexe Formen verwenden Sie den Satz von den parallelen Achsen oder suchen die Formel für Ihre Geometrie. I hat die Einheit kg·m².
Welche Einheiten hat der Drehimpuls?
Der Drehimpuls wird in kg·m²/s gemessen. Das ist äquivalent zu N·m·s (Newtonmetersekunden) und J·s (Joule-Sekunden). In der Quantenmechanik ist der Drehimpuls in ganzzahligen oder halbzahligen Vielfachen von ħ ≈ 1.055×10⁻³⁴ J·s quantisiert.
Wie bleibt Drehimpuls in der Praxis erhalten?
Wenn auf ein System kein äußeres Drehmoment wirkt, bleibt sein gesamter Drehimpuls konstant. Zieht eine Eiskunstläuferin die Arme an (I wird kleiner), muss ω größer werden, damit L = Iω erhalten bleibt. Ein Planet bewegt sich schneller, wenn er der Sonne näher ist (kleineres r), damit mvr konstant bleibt.
Kann Drehimpuls null sein?
Ja. Ein ruhendes Objekt hat keinen Drehimpuls. Ein Objekt, das sich direkt auf einen Bezugspunkt zu oder von ihm weg bewegt, hat ebenfalls keinen Drehimpuls, weil die senkrechte Geschwindigkeitskomponente null ist (r × v_perp = 0). In der Quantenmechanik haben Elektronen in s-Orbitalen ebenfalls keinen Bahndrehimpuls.