De-Broglie-Wellenlänge-Rechner
Berechne die quantenmechanische Wellenlänge beliebiger Teilchen aus Masse und Geschwindigkeit oder kinetischer Energie und mache die Welle-Teilchen-Dualität im Kern der Quantenphysik sichtbar.
Gib die Teilchenmasse und entweder Geschwindigkeit, kinetische Energie oder den direkten Impuls ein, um die De-Broglie-Wellenlänge und verwandte Quanteneigenschaften zu berechnen.
De-Broglie-Wellenlänge-Rechner
Berechne die quantenmechanische Wellenlänge beliebiger Teilchen aus Masse und Geschwindigkeit oder kinetischer Energie und mache die Welle-Teilchen-Dualität im Kern der Quantenphysik sichtbar.
Über den De-Broglie-Wellenlänge-Rechner
1924 machte der französische Physiker Louis de Broglie einen revolutionären Vorschlag: So wie Einstein gezeigt hatte, dass Licht (klassisch eine Welle) sich wie Teilchen (Photonen) verhalten kann, sollten auch alle Materieteilchen — Elektronen, Protonen und sogar Alltagsgegenstände — wellenartige Eigenschaften besitzen. Die mit einem bewegten Teilchen verbundene Wellenlänge heißt heute De-Broglie-Wellenlänge und wird durch die elegante Gleichung λ = h / p beschrieben, wobei λ die Wellenlänge, h das Plancksche Wirkungsquantum (6.62607015×10⁻³⁴ J·s) und p der Impuls des Teilchens ist.
Der Impuls kann auf verschiedene Weisen ausgedrückt werden. Für ein Teilchen der Masse m, das sich mit nichtrelativistischer Geschwindigkeit v bewegt, gilt p = mv, also λ = h / (mv). Ist stattdessen die kinetische Energie E des Teilchens bekannt, verwenden wir p = √(2mE), somit λ = h / √(2mE). In manchen Zusammenhängen wird der Impuls direkt aus experimentellen Daten gemessen, etwa aus der Krümmung einer Teilchenspur in einem Magnetfeld; dann gilt unmittelbar λ = h / p. Dieser Rechner unterstützt alle drei Eingabemodi.
Die De-Broglie-Wellenlänge nimmt ab, wenn der Impuls zunimmt: Schnellere oder massereichere Teilchen haben kürzere Wellenlängen. Für ein Elektron mit 9.1×10⁻³¹ kg, das sich mit 2.2×10⁶ m/s bewegt (typisch für den Grundzustand von Wasserstoff), beträgt die Wellenlänge etwa 0.33 nm, vergleichbar mit atomaren Bindungslängen. Deshalb werden Elektronen an Kristallgittern gebeugt und Elektronenmikroskope können einzelne Atome auflösen. Im Gegensatz dazu hat ein 145 g schwerer Baseball, der mit 40 m/s geworfen wird, eine De-Broglie-Wellenlänge von ungefähr 1.1×10⁻³⁴ m, viele Größenordnungen kleiner als ein Proton. Das erklärt, warum Quanteneffekte bei makroskopischen Objekten völlig unbeobachtbar sind.
Diese Wellennatur der Materie hat weitreichende praktische Folgen. Elektronenbeugung bildet die Grundlage der Transmissionselektronenmikroskopie (TEM) und über das Bragg-Gesetz auch der Röntgenkristallographie. Quanten-Tunneln — wenn ein Teilchen eine klassisch verbotene Energiebarriere durchdringt — hängt direkt von der Wellenlänge ab: Längere Wellenlängen (niedrigere Impulse) tunneln leichter. Deshalb können Wasserstoffkerne in der Sonne bei Temperaturen fusionieren, die scheinbar zu niedrig sind, um die Coulomb-Barriere zu überwinden. Neutronenbeugung wird verwendet, um Kristall- und Molekülstrukturen zu bestimmen, die für Röntgenstrahlen unsichtbar sind, weil Neutronen an Atomkernen statt an Elektronenwolken streuen.
Für relativistische Teilchen, bei denen v sich c nähert, unterschätzt das nichtrelativistische p = mv den Impuls. Der relativistische Impuls lautet p = γmv = mv / √(1 − v²/c²). Für Elektronen in einem 1-MeV-Beschleuniger werden relativistische Korrekturen wichtig. Dieser Rechner setzt nichtrelativistische Geschwindigkeiten (v << c) voraus, was für die meisten Laboranwendungen außerhalb der Hochenergie-Teilchenphysik gültig ist.
Rechenbeispiele
Vier repräsentative Fälle von subatomaren Teilchen bis zu makroskopischen Objekten.
| Teilchen / Szenario | De-Broglie-Wellenlänge | Bedeutung |
|---|---|---|
| Elektron im Grundzustand des Wasserstoffatoms: m = 9.1094×10⁻³¹ kg, v = 2.2×10⁶ m/s | λ ≈ 3.31×10⁻¹⁰ m (0.331 nm) | Vergleichbar mit dem Bohr-Radius. Der Umfang des Elektrons im Grundzustand entspricht genau einer Wellenlänge, im Einklang mit der Bohrschen Quantisierung. |
| Proton im Teilchenbeschleuniger: m = 1.6726×10⁻²⁷ kg, KE = 1.6×10⁻¹² J | λ ≈ 9.06×10⁻¹⁵ m (0.00906 pm) | Tief subnukleare Wellenlänge. Bei dieser Energie können Protonen die innere Quarkstruktur anderer Protonen untersuchen. |
| Thermisches Neutron: m = 1.6749×10⁻²⁷ kg, KE = 4.14×10⁻²¹ J (Raumtemperatur) | λ ≈ 1.78×10⁻¹⁰ m (0.178 nm) | Ideal für Neutronenbeugung. Die Wellenlänge passt zu typischen Atomabständen, wodurch thermische Neutronen perfekt zur Bestimmung von Kristallstrukturen geeignet sind. |
| Baseball: m = 0.145 kg, v = 44.7 m/s (100 mph) | λ ≈ 1.02×10⁻³⁴ m | Die Wellenlänge ist 10²⁰-mal kleiner als die eines Protons. Quanteneffekte sind vollständig vernachlässigbar — klassische Physik gilt perfekt. |
So verwendest du den De-Broglie-Wellenlänge-Rechner
- Wähle den Eingabemodus: „Masse + Geschwindigkeit“, wenn du die Geschwindigkeit des Teilchens kennst, „Masse + kinetische Energie“, wenn du seine Energie in Joule kennst, oder „Impuls (direkt)“, wenn du den Impuls direkt gemessen hast.
- Gib die Teilchenmasse in Kilogramm ein. Für häufige Teilchen: Elektron = 9.1094×10⁻³¹ kg, Proton = 1.6726×10⁻²⁷ kg, Neutron = 1.6749×10⁻²⁷ kg. Teile g durch 1000, um in kg umzurechnen.
- Gib je nach gewähltem Modus die Geschwindigkeit in m/s, die kinetische Energie in Joule (eV mit 1.60218×10⁻¹⁹ multiplizieren) oder den Impuls in kg·m/s ein.
- Klicke auf Berechnen. Die Ergebnisse zeigen die Wellenlänge in Metern, Nanometern und Pikometern sowie den verwendeten Impuls und die entsprechende Frequenz.
- Klicke auf Zurücksetzen, um die Felder zu leeren. Nutze die Beispielschaltflächen im Abschnitt Rechenbeispiele, um repräsentative Teilchendaten direkt in den Rechner zu laden.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die De-Broglie-Wellenlänge physikalisch?
Die De-Broglie-Wellenlänge ist die räumliche Periode der quantenmechanischen Wellenfunktion, die mit einem bewegten Teilchen verbunden ist. Sie beschreibt die Skala, auf der Quanteninterferenzeffekte wie Beugung und Tunneln bedeutsam sind. Wenn diese Wellenlänge mit der Größe eines Systems vergleichbar ist, muss Quantenmechanik verwendet werden; ist sie viel kleiner als alle relevanten Längenskalen, reicht klassische Mechanik aus.
Wie rechne ich Elektronenvolt (eV) in Joule um?
Multipliziere mit der Elementarladung: 1 eV = 1.60218×10⁻¹⁹ J. Ein 100-eV-Elektron hat zum Beispiel eine kinetische Energie von 100 × 1.60218×10⁻¹⁹ = 1.60218×10⁻¹⁷ J. Gib diesen Joule-Wert zusammen mit der Elektronenmasse in das Feld Kinetische Energie ein, um die entsprechende De-Broglie-Wellenlänge zu finden.
Warum gibt der Rechner Wellenlängen in nm und pm aus?
Nanometer (1 nm = 10⁻⁹ m) sind praktisch für Elektronenwellenlängen im Bereich 0.01–1 nm, wie sie in der Elektronenmikroskopie verwendet werden, sowie für UV- und weiche Röntgenwellenlängen. Pikometer (1 pm = 10⁻¹² m) werden in der Röntgenkristallographie und Kernphysik genutzt, wo Wellenlängen 1–100 pm betragen. Meter ist als SI-Basiseinheit der Vollständigkeit halber und für Berechnungen enthalten.
Berücksichtigt dieser Rechner relativistische Effekte?
Nein. Der Rechner verwendet den nichtrelativistischen Impuls p = mv und p = √(2mE). Das ist genau, wenn die Geschwindigkeit deutlich unter der Lichtgeschwindigkeit liegt. Für Elektronen werden relativistische Korrekturen oberhalb von etwa 0.5 MeV (v > 0.86c) bedeutsam. Für Protonen und schwerere Teilchen liegt die Schwelle entsprechend höher. Bei extremen Energien verwende die relativistische Impulsformel p = γmv.
Wie hängen De-Broglie-Wellenlänge und Elektronenmikroskopie zusammen?
Die Auflösung jedes Mikroskops ist ungefähr auf die halbe Wellenlänge der Sonde begrenzt. Sichtbares Licht hat Wellenlängen von 400–700 nm und beschränkt optische Mikroskope auf etwa 200 nm Auflösung. Auf 100 keV beschleunigte Elektronen haben De-Broglie-Wellenlängen von etwa 0.004 nm — 50,000-mal kürzer — sodass Transmissionselektronenmikroskope einzelne Atome mit Sub-Ångström-Auflösung abbilden können.
Können makroskopische Objekte wirklich eine De-Broglie-Wellenlänge haben?
Ja, mathematisch schon. Die Wellenlänge ist jedoch so astronomisch klein, dass sie physikalisch nicht nachweisbar ist. Eine 1-g-Murmel, die sich mit 1 m/s bewegt, hat λ ≈ 6.6×10⁻³¹ m, etwa 20 Größenordnungen kleiner als ein Proton. Kein Interferenzexperiment könnte eine solche Wellenlänge mit absehbarer Technologie auflösen, weshalb Quanteneffekte im Alltag fehlen.