Bohr-Modell-Rechner: Atomstruktur und Elektroneneigenschaften
Berechnen Sie mit dem Bohr-Atommodell Energieniveaus, Bahnradius, Geschwindigkeit und Wellenlänge für jedes Atom.
Geben Sie die Ordnungszahl, die Hauptquantenzahl und optional die Bahn- und magnetische Quantenzahl ein, um Elektroneneigenschaften zu untersuchen.
Bohr-Modell-Rechner: Atomstruktur und Elektroneneigenschaften
Berechnen Sie mit dem Bohr-Atommodell Energieniveaus, Bahnradius, Geschwindigkeit und Wellenlänge für jedes Atom.
Über den Bohr-Modell-Rechner
Das Bohr-Modell, 1913 vom dänischen Physiker Niels Bohr eingeführt, war die erste quantenmechanische Beschreibung der Atomstruktur, die das Wasserstoffspektrum erfolgreich erklärte. Obwohl es inzwischen vom strengeren quantenmechanischen Modell abgelöst wurde, bleibt das Bohr-Modell ein wichtiges Lehrmittel und liefert genaue Ergebnisse für wasserstoffähnliche Ionen, bei denen ein einzelnes Elektron einen Kern mit der Ordnungszahl Z umkreist.
Im Kern des Bohr-Modells stehen zwei Postulate. Erstens umlaufen Elektronen den Kern nur auf bestimmten erlaubten Kreisbahnen, den stationären Zuständen, in denen sie keine Energie abstrahlen. Zweitens können Elektronen zwischen diesen Bahnen springen, indem sie ein Photon absorbieren oder emittieren, dessen Energie der Differenz der beiden Energieniveaus entspricht. Diese beiden Ideen führten den Begriff quantisierter Energiezustände in die Atomphysik ein und legten den Grundstein für die moderne Quantenmechanik.
Die Energie des n-ten Niveaus eines wasserstoffähnlichen Atoms lautet E_n = −13.6 × Z² / n² eV, wobei Z die Ordnungszahl und n die Hauptquantenzahl ist (n = 1, 2, 3, …). Das Minuszeichen zeigt, dass das Elektron an den Kern gebunden ist; eine weniger negative Energie bedeutet eine höhere, schwächer gebundene Bahn. Der Grundzustand von Wasserstoff (Z = 1, n = 1) hat eine Energie von −13.6 eV, während der erste angeregte Zustand (n = 2) eine Energie von −3.4 eV hat.
Der Bahnradius skaliert mit r_n = a₀ × n² / Z, wobei a₀ = 5.292 × 10⁻¹¹ m der Bohr-Radius ist, der wahrscheinlichste Abstand des Elektrons vom Proton im Grundzustand von Wasserstoff. Für höhere Schalen wächst der Radius schnell mit n², sodass angeregte Elektronen deutlich größere Bahnen einnehmen. Die Elektronengeschwindigkeit in jeder Bahn nimmt mit n ab gemäß v_n = α × c × Z / n, wobei α ≈ 1/137 die Feinstrukturkonstante und c die Lichtgeschwindigkeit ist.
Neben Energie und Radius erlaubt das Bohr-Modell auch die Berechnung der de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons λ = h / (m_e × v), der Umlaufzeit T = 2π r / v sowie der erlaubten Bahnquantenzahl (l) und magnetischen Quantenzahl (m), die im vollständigen quantenmechanischen Bild Form und Orientierung der Bahn beschreiben.
Dieser Rechner implementiert all diese Beziehungen und ist nützlich für Studierende der Atomphysik, Spektroskopie, Quantenchemie und verwandter Bereiche. Geben Sie die Ordnungszahl Z (Protonenzahl) und die Hauptquantenzahl n ein, um sofort Energie, Radius, Geschwindigkeit und Wellenlänge zu erhalten. Die optionalen Bahnquantenzahl l und magnetische Quantenzahl m spezifizieren zusätzlich den Quantenzustand innerhalb einer gegebenen Schale.
Bohr-Modell-Beispiele
Durchgerechnete Beispiele zeigen, wie das Bohr-Modell auf reale Atomkonfigurationen angewendet wird.
| tool.bohr-model-calculator.examples.colInput | Ergebnis | Erklärung |
|---|---|---|
| Z = 1, n = 1 (Wasserstoff-Grundzustand) | E = −13.60 eV, r = 5.29 × 10⁻¹¹ m | Das Elektron befindet sich auf der Bahn mit der niedrigsten Energie beim Bohr-Radius. Das ist der stabilste Zustand des Wasserstoffs. |
| Z = 1, n = 2 (erster angeregter Zustand des Wasserstoffs) | E = −3.40 eV, r = 2.12 × 10⁻¹⁰ m | Das Elektron hat aus dem Grundzustand 10.2 eV aufgenommen. Der Bahnradius ist viermal so groß wie bei n = 1. |
| Z = 2, n = 1 (wasserstoffähnliches Helium) | E = −54.40 eV, r = 2.65 × 10⁻¹¹ m | Eine Verdopplung von Z vervierfacht die Bindungsenergie und halbiert den Bahnradius im Vergleich zu Wasserstoff bei gleichem n. |
| Z = 1, n = 3 (zweiter angeregter Zustand des Wasserstoffs) | E = −1.51 eV, r = 4.76 × 10⁻¹⁰ m | Die dritte Schale ist neunmal größer als die erste. Übergänge von n = 3 erzeugen die Paschen-Serie im Infrarotbereich. |
So verwenden Sie den Bohr-Modell-Rechner
- Geben Sie die Ordnungszahl (Z) ein — die Zahl der Protonen im Kern. Für Wasserstoff 1, für Helium 2 und so weiter.
- Geben Sie die Hauptquantenzahl (n) ein — die Schalennummer. Verwenden Sie n = 1 für den Grundzustand, n = 2 für den ersten angeregten Zustand usw.
- Optional können Sie die Bahnquantenzahl (l, von 0 bis n−1) und die magnetische Quantenzahl (m, von −l bis +l) eingeben, um einen Unterzustand zu spezifizieren.
- Klicken Sie auf Berechnen, um Energieniveau, Bahnradius, Elektronengeschwindigkeit, de-Broglie-Wellenlänge und Umlaufzeit sofort anzuzeigen.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um alle Eingaben zu löschen und eine neue Berechnung zu starten.
FAQ zum Bohr-Modell-Rechner
Was ist das Bohr-Modell des Atoms?
Das Bohr-Modell ist ein Planetenmodell des Atoms, das 1913 von Niels Bohr vorgeschlagen wurde. Es besagt, dass Elektronen den Kern auf festen Kreisbahnen, den sogenannten Schalen, umkreisen, von denen jede eine diskrete Energie besitzt, und dass Elektronen Strahlung nur beim Sprung zwischen diesen erlaubten Bahnen emittieren oder absorbieren. Obwohl es für Mehrelektronenatome später durch die Quantenmechanik ersetzt wurde, bleibt es für wasserstoffähnliche (ein-Elektronen-)Ionen genau.
Was bedeutet die Hauptquantenzahl n?
Die Hauptquantenzahl n (1, 2, 3, …) beschreibt die Schale des Elektrons und bestimmt sowohl seine Energie als auch seinen mittleren Abstand vom Kern. Mit zunehmendem n wird die Energie weniger negativ (weniger stark gebunden), und der Bahnradius wächst wie n². Im Grundzustand liefert n = 1 die niedrigste Energie und die kleinste Bahn.
Warum ist die Energie im Bohr-Modell negativ?
Die Energie wird relativ zur Ionisationsgrenze definiert, an der sich das Elektron in unendlicher Entfernung vom Kern mit null kinetischer Energie befindet. Ein gebundenes Elektron hat weniger Energie als ein freies, daher sind gebundene Zustandsenergien negativ. Die Grundzustandsenergie von Wasserstoff beträgt −13.6 eV, was bedeutet, dass 13.6 eV zugeführt werden müssen, um ein Wasserstoffatom im Grundzustand zu ionisieren.
Ist das Bohr-Modell für Mehrelektronenatome genau?
Das Bohr-Modell ist nur für wasserstoffähnliche Ionen — Atome oder Ionen mit nur einem Elektron — streng genau, etwa H, He⁺, Li²⁺ und so weiter. Für Mehrelektronenatome erfordern Elektron-Elektron-Abstoßung und Austauschwechselwirkungen die vollständige quantenmechanische Behandlung. Dennoch liefert das Bohr-Modell nützliche Abschätzungen und ist ein hervorragender didaktischer Ausgangspunkt.
Was ist der Bohr-Radius?
Der Bohr-Radius (a₀ ≈ 5.292 × 10⁻¹¹ m bzw. 0.529 Å) ist der wahrscheinlichste Abstand zwischen Elektron und Proton im Grundzustand von Wasserstoff. Er legt die natürliche Längenskala für atomare Abstände fest. Der Bahnradius jeder Schale ist r_n = a₀ × n² / Z.
Wie hängen die Quantenzahlen l und m mit dem Bohr-Modell zusammen?
Im ursprünglichen Bohr-Modell wird nur n verwendet. Die Bahnquantenzahl l (0 bis n−1) und die magnetische Quantenzahl m (−l bis +l) stammen aus Sommerfelds Erweiterung der Bohr-Ideen und später aus der vollständigen Wellenmechanik. Sie beschreiben Form und Orientierung des Orbitals, verfeinern die Energie im Magnetfeld (Zeeman-Effekt) und erlauben die Angabe eines eindeutigen Quantenzustands.