Zylinderkoordinaten-Rechner - 3D-Umwandlungstool

Koordinatensysteme sind Rahmen, die jedem Punkt im Raum eindeutige numerische Bezeichnungen zuweisen. Das bekannteste ist das kartesische (rechtwinklige) System, das einen Punkt im dreidimensionalen Raum durch drei senkrechte Abstände beschreibt — x (Ost-West), y (Nord-Süd) und z (oben-unten) — gemessen von einem festen Ursprung. Kartesische Koordinaten sind für geradlinige Probleme intuitiv, werden aber umständlich, wenn ein Problem zylindrische Symmetrie hat, also die Geometrie sich beim Drehen um eine Mittelachse wiederholt. Das Zylinderkoordinatensystem ersetzt dazu das kartesische x und y durch zwei Größen, die Rotation um die z-Achse und den Abstand von der z-Achse natürlich beschreiben: ρ (rho), den radialen Abstand von der z-Achse, und φ (phi), den Azimutwinkel, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse in der xy-Ebene. Die z-Koordinate bleibt unverändert. Ein Punkt (x, y, z) in kartesischen Koordinaten wird nach (ρ, φ, z) in Zylinderkoordinaten abgebildet mit ρ = √(x² + y²), φ = atan2(y, x) in Grad und z = z. Die Umkehrung — von Zylinderkoordinaten zurück zu kartesischen Koordinaten — lautet x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z, wobei φ vor der Berechnung der trigonometrischen Funktionen von Grad in Radiant umgerechnet werden muss. Die z-Komponente ist in beiden Umwandlungen unabhängig, weshalb Zylinderkoordinaten als Polarkoordinaten in der Horizontalebene verstanden werden können, die vertikal fortgesetzt werden. Zylinderkoordinaten sind die natürliche Wahl für Probleme mit Rohren, Zylindern, Solenoiden oder jeder Geometrie mit Azimutsymmetrie. In der Strömungsmechanik vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen für eine Strömung in einem Rohr deutlich, wenn sie in Zylinderform geschrieben werden. In der Elektrodynamik werden das Magnetfeld eines unendlich langen geraden Drahtes und das elektrische Feld eines unendlich geladenen Zylinders in Zylinderkoordinaten am knappsten ausgedrückt. In der Wärmeübertragung wird die Temperaturverteilung in einer runden Rippe oder einem Hohlzylinder am direktesten mit diesem System hergeleitet. Der von diesem Rechner ausgegebene Winkel φ wird auf den Bereich [0°, 360°) normiert, ist also immer eine nicht negative Zahl kleiner als 360. Manche Lehrbücher verwenden den Bereich (−180°, 180°]; beide Darstellungen sind gleichwertig und unterscheiden sich nur durch Addieren oder Subtrahieren von 360°. Wenn ρ = 0 ist (der Ursprung und jeder Punkt auf der z-Achse), ist φ geometrisch undefiniert; der Rechner gibt in diesem Fall per Konvention 0° zurück. In der Robotik verwenden Zylinderkoordinaten-Roboter — eine Klasse industrieller Manipulatoren — ρ, φ und z direkt als Gelenkvariablen, wodurch Zylinderkoordinaten zur natürlichen Sprache für ihre Bewegungsprogrammierung werden. In der Computergrafik werden Zylinderkoordinaten zur Parametrisierung von Zylinderoberflächen und zur Erzeugung von Texturkoordinaten für zylindrische Objekte verwendet. In der medizinischen Bildgebung erfassen CT- und MRT-Scanner Daten in einer rotierenden Geometrie, die im Wesentlichen zylindrisch ist, bevor sie in das kartesische Volumen rekonstruiert werden, das du auf dem Bildschirm siehst.