Wurzelrechner - Quadratwurzeln und n-te Wurzeln vereinfachen

Ein Radikalterm hat die Form ⁿ√a, wobei a der Radikand ist — die Zahl unter dem Wurzelzeichen — und n der Exponent, also der Grad der Wurzel. Wenn n = 2 ist, handelt es sich um eine Quadratwurzel; wenn n = 3 ist, um eine Kubikwurzel, und so weiter. Eine Wurzel zu vereinfachen bedeutet, sie so umzuschreiben, dass der Radikand keinen Faktor mehr enthält, der eine perfekte n-te Potenz ist. Das Ergebnis ist die kanonische, kompakteste Form des Ausdrucks. Die Grundlage der Wurzelvereinfachung ist das Produktgesetz: ⁿ√(x·y) = ⁿ√x · ⁿ√y. Da jede perfekte n-te Potenz unter der Wurzel als ganze Zahl herausgezogen werden kann, besteht die Strategie darin, den größten perfekten n-te-Potenz-Faktor des Radikands zu finden, dessen n-te Wurzel als Koeffizient herauszuziehen und nur den Rest unter dem Wurzelzeichen zu belassen. Zum Beispiel: Um √72 zu vereinfachen, beachte, dass 72 = 36 × 2 = 6² × 2. Mit dem Produktgesetz gilt √72 = √36 · √2 = 6√2. Der von diesem Rechner verwendete Algorithmus ist systematischer und funktioniert für jeden Exponenten. Zuerst wird der Radikand in Primfaktoren zerlegt. Jeder Primfaktor p kommt eine bestimmte Anzahl k-mal vor. Teilt man k durch den Exponenten n, erhält man einen Quotienten q und einen Rest r. Der Faktor p^q kann vollständig vor die Wurzel gezogen werden (er trägt p^q zum Koeffizienten bei), während p^r unter der Wurzel bleibt (er trägt p^r zum neuen Radikanden bei). Dieser Vorgang wird für jeden Primfaktor wiederholt, und die einzelnen Beiträge werden miteinander multipliziert, um den endgültigen Koeffizienten und den vereinfachten Radikanden zu erhalten. Betrachte zum Beispiel ∛54. Die Primfaktorzerlegung von 54 ist 2 × 3³. Für die Primzahl 2 mit Exponent 1 und Exponent 3 gilt: Quotient = 0, Rest = 1, also tritt nichts heraus und 2 bleibt innen. Für die Primzahl 3 mit Exponent 3 und Exponent 3 gilt: Quotient = 1, Rest = 0, also kommt 3 nach außen und innen bleibt nichts. Die vereinfachte Form ist 3∛2. Perfekte Potenzen vereinfachen sich vollständig zu ganzen Zahlen. Die vierte Wurzel aus 81 ist ein klassisches Beispiel: 81 = 3⁴, also ist ⁴√81 = 3 und unter der Wurzel bleibt nichts übrig. Ebenso gilt √144 = 12, weil 144 = 12². Vereinfachte Wurzeln tauchen in der gesamten Mathematik und den angewandten Wissenschaften auf. In der Geometrie liefert der Satz des Pythagoras oft Hypotenusenlängen, die irrational sind, und die Vereinfachung solcher Radikale ergibt klarere und besser vergleichbare Resultate. In der Algebra erfordert das Addieren oder Subtrahieren von Radikalen, dass sie denselben Exponenten und denselben vereinfachten Radikanden haben — solche Ausdrücke nennt man gleichartige Radikale — und die Vereinfachung zeigt erst, ob zwei scheinbar unterschiedliche Radikale tatsächlich gleich sind. In Physik und Ingenieurwesen enthalten Formeln für Schwingungen, Wellengeschwindigkeiten und Resonanz ebenfalls Wurzeln, die in vereinfachter Form leichter zu handhaben und zu vergleichen sind. Ein häufiger Fehler ist, zu früh aufzuhören — etwa √72 zu 3√8 zu vereinfachen, indem man 9 statt 36 ausklammert. 3√8 ist noch nicht vollständig vereinfacht, weil 8 = 4 × 2 und √4 = 2 ist; daher ist noch ein weiterer Schritt nötig, um 6√2 zu erhalten. Dieser Rechner vermeidet diesen Fehler, indem er von der Primfaktorzerlegung ausgeht, was garantiert, dass der größtmögliche Faktor in einem Durchgang herausgezogen wird. Ein weiterer häufiger Fehler ist die Verwechslung von Exponent n und Exponent im Radikanden. Der Exponent steht links oben am Wurzelsymbol (der kleine Hochindex), während der Radikand unter dem waagerechten Strich steht. Eine Änderung des Exponenten verändert die Operation grundlegend: √9 = 3, aber ∛9 ≈ 2,08 und ⁴√9 ≈ 1,73.