Warteschlangentheorie-Rechner - M/M/c Analyse

Die Warteschlangentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der Warteschlangen untersucht. Sie liefert Werkzeuge, um das Verhalten eines Systems vorherzusagen, in dem Ankünfte zufällig erfolgen, Bedienung Zeit benötigt und Ressourcen (Server) begrenzt sind. Anwendungsgebiete reichen von Telekommunikation (Paketvermittlung) über das Gesundheitswesen (Patientenplanung), die Fertigung (Maschinenwarteschlangen), den Verkehr (Verkehrsfluss) bis zur Informatik (Betriebssystemplanung). Die Kendall-Notation A/S/c/K/N beschreibt eine Warteschlange über ihren Ankunftsprozess (A), die Verteilung der Bedienzeit (S), die Anzahl der Server (c), die Systemkapazität (K) und die Populationsgröße (N). Am häufigsten ist M/M/c, bei dem sowohl Ankünfte als auch Bedienzeiten exponentiellen (gedächtnislosen) Verteilungen folgen — das M steht für Markovian (exponentiell). Dieser Rechner deckt vier wichtige Modelle ab. Das M/M/1-Modell ist das einfachste: ein einzelner Server mit Poisson-Ankünften (Rate λ) und exponentiellen Bedienzeiten (Rate μ). Das System ist nur stabil, wenn ρ = λ/μ < 1 gilt. Die durchschnittliche Anzahl im System ist L = ρ/(1-ρ), und die durchschnittliche Zeit im System ist nach Little's Law (L = λW) W = 1/(μ-λ). Das M/M/c-Modell erweitert dies auf c parallele, identische Server. Die gesamte Bedienkapazität beträgt c·μ, daher erfordert Stabilität ρ = λ/(c·μ) < 1. Die Erlang-C-Formel liefert die Wahrscheinlichkeit, dass ein ankommender Kunde warten muss: C(c,ρ) = (cρ)^c/(c!(1-ρ)) · P₀, wobei P₀ die Wahrscheinlichkeit ist, dass das System leer ist. Das M/M/c/K-Modell fügt einen begrenzten Warteraum hinzu — die Systemkapazität K ist die maximale Gesamtzahl an Kunden (in Bedienung plus wartend). Kunden, die ankommen, wenn das System voll ist, werden blockiert (abgewiesen). Dieses Modell eignet sich für Restaurants, Parkplätze und Krankenhausstationen. Die Blockierungswahrscheinlichkeit ist für M/M/1/K P(K) = P₀ · (λ/μ)^K / K!. Das M/M/c/N-Modell geht von einer endlichen Quellpopulation von N potenziellen Kunden aus. Ein Kunde, der bereits im System ist, kann keine neuen Ankünfte erzeugen, daher sinkt die effektive Ankunftsrate, wenn sich das System füllt. Dieses Modell eignet sich für Maschinenreparaturprobleme, bei denen N Maschinen jeweils mit Rate λ ausfallen und mit Rate μ repariert werden. Little's Law — L = λ_eff × W — ist die universelle Beziehung zwischen der durchschnittlichen Anzahl im System (L), der effektiven Ankunftsrate (λ_eff) und der durchschnittlichen Zeit im System (W). Sie gilt für fast jedes stabile Warteschlangensystem unabhängig von Verteilungsannahmen und bildet die Grundlage aller Leistungsformeln in diesem Rechner.