Teilungsformel-Rechner

Finden Sie den Punkt, der eine gerichtete Strecke im gegebenen Verhältnis teilt, mit innerer oder äußerer Teilungsformel.

Geben Sie zwei Endpunkte und ein Verhältnis m:n ein, um den Teilungspunkt auf einer gerichteten Strecke sofort zu bestimmen.

Finden Sie den Punkt, der eine gerichtete Strecke im gegebenen Verhältnis teilt, mit innerer oder äußerer Teilungsformel.

Teilungsart

x₁ (x-Koordinate von Punkt A)

y₁ (y-Koordinate von Punkt A)

x₂ (x-Koordinate von Punkt B)

y₂ (y-Koordinate von Punkt B)

m (erster Verhältniswert)

n (zweiter Verhältniswert)

Über den Teilungsformel-Rechner

Die Teilungsformel ist ein Werkzeug der analytischen Geometrie, um den Punkt zu finden, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt. Wenn Sie die Endpunkte A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂) sowie ein Verhältnis m:n kennen, können Sie die genauen Koordinaten von Punkt P berechnen, ohne die Grafik maßstabsgetreu zeichnen zu müssen. Das ist besonders hilfreich in analytischer Geometrie, technischen Zeichnungen, Computergrafik, Vermessung und Physikaufgaben, in denen Präzision zählt. Bei der inneren Teilung liegt der Punkt zwischen A und B. Die Koordinaten sind gewichtete Mittelwerte der Endpunkte: P = ((m·x₂ + n·x₁)/(m+n), (m·y₂ + n·y₁)/(m+n)). Die Gewichte zeigen, wie stark jeder Endpunkt das Ergebnis beeinflusst. Sind m und n gleich, ist der Punkt der Mittelpunkt. Ist ein Anteil größer, liegt der Punkt näher am gegenüberliegenden Endpunkt, weil das größere Gewicht den Mittelwert stärker in diese Richtung zieht. Bei der äußeren Teilung liegt der Punkt auf der Verlängerung der Geraden außerhalb der Strecke. Die Formel ändert das Vorzeichen: P = ((m·x₂ - n·x₁)/(m-n), (m·y₂ - n·y₁)/(m-n)). Äußere Teilung kommt im Anfangsunterricht seltener vor, ist aber in der projektiven Geometrie, Vektoranalyse und bei Konstruktionen wichtig, bei denen der Punkt außerhalb der Strecke liegen soll. Eine wichtige Einschränkung ist, dass m und n bei äußerer Teilung nicht gleich sein dürfen, da sonst der Nenner null wird. Mit diesem Teilungsformel-Rechner können Sie zwischen innerer und äußerer Teilung mit denselben Koordinateneingaben wechseln. Sie geben x₁, y₁, x₂, y₂ sowie die Verhältniswerte m und n ein, und das Tool berechnet P(x, y) sofort. Da direkte Zahlenformeln verwendet werden, funktioniert es ebenso gut mit positiven, negativen und dezimalen Koordinaten. Oft werden die Reihenfolge des Verhältnisses oder die zugehörigen Koeffizienten verwechselt. Eine hilfreiche Regel ist, im hier gezeigten Standardfall der inneren Teilung m dem Punkt B und n dem Punkt A zuzuordnen. Denken Sie nicht in einzelnen Koordinatentricks, sondern als gewichtete Positionsformel. Sie zeigt, wo ein Punkt aufgrund des Einflusses der Endpunkte liegen muss. Nutzen Sie den Rechner, um Hausaufgaben zu prüfen, Zeichnungen zu kontrollieren oder Geometrieaufgaben mit gerichteten Strecken und Verhältnissen schneller zu lösen.

Beispiele zur Teilungsformel

Hier sind einige typische Fälle für innere und äußere Teilung.

Eingabe	Ergebnis	Erklärung
A(1, 2), B(7, 8), m:n = 1:2, interne Teilung	P = (3, 4)	Bei der inneren Teilung liegt der Punkt zwischen A und B. Die Formel ergibt ((1·7 + 2·1)/3, (1·8 + 2·2)/3) = (3, 4).
A(0, 0), B(10, 0), m:n = 3:2, interne Teilung	P = (6, 0)	Der Punkt liegt drei Fünftel des Weges von A nach B, daher ändert sich nur die x-Koordinate.
A(1, 1), B(7, 4), m:n = 2:1, äußere Teilung	P = (13, 7)	Die äußere Teilung setzt die Gerade über B hinaus fort. Mit der äußeren Formel ergibt sich ((2·7 - 1·1)/(2-1), (2·4 - 1·1)/(2-1)) = (13, 7).

So verwenden Sie den Teilungsformel-Rechner

Wählen Sie, ob der Punkt die Strecke intern oder extern teilt.
Geben Sie die Koordinaten von Punkt A und Punkt B ein und danach die Verhältniswerte m und n.
Klicken Sie auf Punkt berechnen, um die Koordinaten von P mit der passenden Teilungsformel zu berechnen.
Prüfen Sie den angezeigten Punkt und die Formelsumme, um zu bestätigen, ob er zwischen den Endpunkten oder auf der Verlängerung liegt.

FAQ zur Teilungsformel

Was ist der Unterschied zwischen innerer und äußerer Teilung?

Bei der inneren Teilung liegt der Punkt zwischen A und B, bei der äußeren Teilung außerhalb der Strecke auf derselben Geraden. Die Formeln unterscheiden sich im Vorzeichen von Zähler und Nenner.

Wann liefert die Teilungsformel den Mittelpunkt?

Wenn bei der inneren Teilung m = n gilt, ist der Punkt der Mittelpunkt. Die Formel vereinfacht sich zu ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).

Warum dürfen m und n bei äußerer Teilung nicht gleich sein?

Weil der Nenner m - n ist. Sind diese Werte gleich, wird der Nenner null und die äußere Teilungsformel ist nicht definiert.

Kann ich negative oder dezimale Koordinaten verwenden?

Ja. Die Formeln funktionieren mit allen reellen Koordinaten und Verhältniswerten, einschließlich negativer Zahlen und Dezimalzahlen, solange der Nenner nicht null ist.

Wie soll ich das Verhältnis m:n interpretieren?

Das Verhältnis beschreibt, wie der Punkt die gerichtete Strecke von A nach B teilt. In der hier verwendeten Standardformel gewichtet m den Punkt B und n den Punkt A.