Teilbarkeitsrechner
Prüfen Sie jede ganze Zahl auf Teilbarkeit durch 2–12 oder benutzerdefinierte Teiler und lernen Sie die Regeln sofort kennen.
Geben Sie eine positive ganze Zahl ein und wählen Sie entweder die Prüfung gängiger Teiler (2–12) oder eigene Teiler. Die Ergebnisse zeigen, ob jeder Teiler die Zahl ohne Rest teilt.
Teilbarkeitsrechner
Prüfen Sie jede ganze Zahl auf Teilbarkeit durch 2–12 oder benutzerdefinierte Teiler und lernen Sie die Regeln sofort kennen.
Über den Teilbarkeitsrechner
Teilbarkeit ist eines der grundlegenden Konzepte der Zahlentheorie. Eine Zahl n ist durch d teilbar, wenn die Division n ÷ d keinen Rest lässt — anders gesagt, d teilt n ohne Rest und das Ergebnis ist eine ganze Zahl. Das Prüfen von Teilbarkeit ist ein wichtiger Schritt in vielen mathematischen Verfahren: Brüche durch gemeinsame Faktoren kürzen, Primzahlen erkennen, Polynome faktorisieren und Probleme der modularen Arithmetik lösen erfordert zu wissen, welche ganzen Zahlen eine gegebene Zahl teilen.
Für kleine Teiler haben Mathematiker elegante Kurzregeln entwickelt, mit denen man die Teilbarkeit ohne lange Division entscheiden kann. Die Regel für 2 ist am einfachsten: Jede ganze Zahl, die auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet, ist durch 2 teilbar. Bei 5 muss die letzte Ziffer 0 oder 5 sein. Bei 10 muss die letzte Ziffer 0 sein. Diese Regeln funktionieren, weil unser Zahlensystem dezimal ist; die letzte Ziffer bestimmt den Rest bei Division durch 2, 5 oder 10 vollständig.
Die Teilbarkeit durch 3 hängt von der Quersumme ab: Addieren Sie alle Ziffern, und wenn die Summe durch 3 teilbar ist, ist es auch die ursprüngliche Zahl. Zum Beispiel hat 123 die Quersumme 1+2+3 = 6, und 6 ist durch 3 teilbar, also ist auch 123 durch 3 teilbar. Für 9 gilt dieselbe Regel, nur muss die Quersumme durch 9 statt durch 3 teilbar sein. Für 6 muss eine Zahl gleichzeitig durch 2 und 3 teilbar sein (da 6 = 2 × 3 und 2 und 3 teilerfremd sind).
Die Teilbarkeit durch 4 hängt von den letzten beiden Ziffern ab: Wenn die zweistellige Zahl aus Zehner- und Einerstelle durch 4 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 4 teilbar. Zum Beispiel endet 316 auf 16, und 16 ÷ 4 = 4 genau, also ist 316 durch 4 teilbar. Die Teilbarkeit durch 8 erweitert dies: Die letzten drei Ziffern müssen eine durch 8 teilbare Zahl bilden.
Für 11 gilt die Regel der alternierenden Ziffernsumme: Subtrahieren Sie die Summe der Ziffern auf ungeraden Positionen von der Summe der Ziffern auf geraden Positionen. Ist das Ergebnis 0 oder durch 11 teilbar, ist die ursprüngliche Zahl durch 11 teilbar. Für 7 gibt es keinen so eleganten Einzelschritt wie bei den anderen, daher verwendet der Rechner die direkte Prüfung mit modularer Arithmetik.
Für 12 muss eine Zahl sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar sein (da 12 = 3 × 4 und gcd(3,4) = 1). Der Rechner prüft diese zusammengesetzte Bedingung automatisch.
Neben den voreingestellten Teilern 2–12 akzeptiert der benutzerdefinierte Modus jede durch Kommas getrennte Liste positiver ganzer Zahlen. Dadurch ist dieses Werkzeug auch nützlich, um die Teilbarkeit durch Primzahlen (13, 17, 19, …), Potenzen (16, 25, 32, …) oder andere für Ihr Problem relevante Teiler zu prüfen.
Beispiele für Teilbarkeitsprüfungen
Drei ausgearbeitete Beispiele zeigen, wie Teilbarkeitsregeln bei unterschiedlichen ganzen Zahlen angewendet werden.
| Zahl | Teilbar durch | Angewendete Hauptregel |
|---|---|---|
| 360 | 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 | 360 endet auf 0 (÷2, ÷5, ÷10), Quersumme 9 (÷3, ÷9), die letzten beiden Ziffern 60 sind durch 4 teilbar (÷4, ÷8), außerdem ist die Zahl durch 2 und 3 teilbar (÷6) sowie durch 3 und 4 (÷12). |
| 123 | 3 | Die Quersumme 1+2+3 = 6 ist durch 3 teilbar, aber 123 ist ungerade (nicht ÷2), endet nicht auf 0 oder 5 (nicht ÷5) und fällt bei allen anderen Standardtests durch. |
| 1001 | 7, 11 | 1001 = 7 × 11 × 13. Die alternierende Ziffernsumme für 11: 1−0+0−1 = 0, was ÷11 bestätigt. Die direkte Modulo-Prüfung bestätigt ÷7. |
So verwenden Sie den Teilbarkeitsrechner
- Geben Sie die positive ganze Zahl, die Sie prüfen möchten, in das Feld Zu prüfende Zahl ein.
- Wählen Sie Gängige Teiler (2–12), um alle Teiler von 2 bis 12 auf einmal zu prüfen, oder Benutzerdefinierte Teiler, um Ihre eigene Liste anzugeben.
- Wenn Sie Benutzerdefinierte Teiler gewählt haben, geben Sie diese als durch Kommas getrennte ganze Zahlen in das Feld Benutzerdefinierte Teiler ein (z. B. 2, 3, 5, 7).
- Klicken Sie auf Teilbarkeit prüfen, um eine Tabelle zu sehen, die anzeigt, ob jeder Teiler die Zahl ohne Rest teilt, sowie den Rest jeder Prüfung.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um die Felder zu leeren und eine andere Zahl zu prüfen.
FAQ zur Teilbarkeitsprüfung
Was bedeutet es, dass eine Zahl durch eine andere teilbar ist?
Eine Zahl n ist durch d teilbar, wenn n ÷ d eine ganze Zahl ohne Rest ergibt — also n mod d = 0. Zum Beispiel ist 12 durch 4 teilbar, weil 12 ÷ 4 = 3 genau ist. Teilbarkeit ist eine der grundlegendsten Beziehungen in der Zahlentheorie und bildet die Basis für Faktorisierung, Bruchkürzung und modulare Arithmetik.
Wie lauten die Teilbarkeitsregeln für 2 und 3?
Für 2 gilt: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist (also wenn sie gerade ist). Für 3: Addieren Sie alle Ziffern; ist die Summe durch 3 teilbar, dann auch die ursprüngliche Zahl. Zum Beispiel hat 573 die Quersumme 5+7+3 = 15, und 15 ist durch 3 teilbar, also ist 573 durch 3 teilbar.
Wie prüfe ich die Teilbarkeit durch 7?
Für 7 gibt es keine so einfache Ein-Schritt-Regel wie für 2, 3 oder 5. Der zuverlässigste Weg ist, den Rest direkt mit modularer Arithmetik zu berechnen: n mod 7. Genau das macht der Rechner. Ist der Rest null, ist n durch 7 teilbar; andernfalls nicht.
Warum Teilbarkeit durch zusammengesetzte Zahlen wie 6 oder 12 prüfen?
Die Prüfung auf zusammengesetzte Teiler entspricht der gleichzeitigen Prüfung aller ihrer Primfaktoren. Eine Zahl ist durch 6 teilbar genau dann, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. Durch 12 teilbar bedeutet, durch 3 und 4 teilbar zu sein. Solche zusammengesetzten Tests sind praktische Abkürzungen beim Faktorisieren und Vereinfachen von Ausdrücken im Alltag.
Kann ich sehr große Zahlen testen?
Ja. Der Rechner verarbeitet positive ganze Zahlen bis zur Grenze der sicheren Ganzzahlen von JavaScript (2⁵³ − 1 ≈ 9 × 10¹⁵, also 16 Stellen). Für die meisten schulischen und alltäglichen Anwendungen ist das mehr als ausreichend. Für Zahlen mit mehr als 15 Stellen wäre eine Bibliothek für beliebige Genauigkeit nötig.
Wie funktioniert die Regel der alternierenden Ziffernsumme für 11?
Für die Teilbarkeit durch 11 vergeben Sie den Ziffern von rechts nach links abwechselnd die Vorzeichen +, −, +, − und summieren dann. Ist das Ergebnis 0 oder durch 11 teilbar, ist die Zahl durch 11 teilbar. Bei 1001 gilt von rechts aus: 1×(+1) + 0×(−1) + 0×(+1) + 1×(−1) = 1 − 1 = 0, also ist 1001 durch 11 teilbar.