Steigungsrechner: zwei Punkte oder Gleichung
Berechne die Steigung einer Geraden mit zwei Koordinatenpunkten oder einer Geradengleichung — erhalte sofort Steigung, Winkel in Grad und Bogenmaß, Abstand zwischen den Punkten und die vollständige Geradengleichung.
Wähle eine Berechnungsmethode und gib die benötigten Werte ein, um Steigung, Winkel und weitere Eigenschaften der Geraden zu bestimmen.
Steigungsrechner: zwei Punkte oder Gleichung
Berechne die Steigung einer Geraden mit zwei Koordinatenpunkten oder einer Geradengleichung — erhalte sofort Steigung, Winkel in Grad und Bogenmaß, Abstand zwischen den Punkten und die vollständige Geradengleichung.
Über den Steigungsrechner
Die Steigung einer Geraden ist eine Zahl, die sowohl die Richtung als auch die Steilheit der Geraden beschreibt. Sie ist definiert als das Verhältnis der vertikalen Änderung (rise) zur horizontalen Änderung (run) zwischen zwei beliebigen Punkten auf der Geraden: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Da eine Gerade überall die gleiche Neigung hat, spielt es keine Rolle, welche zwei Punkte du wählst — das Verhältnis ist immer gleich.
Eine positive Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts ansteigt: Wenn x größer wird, wird auch y größer. Eine negative Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts abfällt: Wenn x größer wird, wird y kleiner. Eine Steigung von 0 bedeutet, dass die Gerade vollkommen horizontal ist — es gibt keinen Anstieg. Eine undefinierte Steigung bedeutet, dass die Gerade vollkommen vertikal ist — der Nenner (x₂ − x₁) ist 0, und Division durch 0 ist in der Mathematik undefiniert. Eine vertikale Gerade hat keinen einzelnen Steigungswert, weil sie unendlich steil ist.
Der Betrag der Steigung gibt die Steilheit an. Eine Steigung von 0.1 ist fast flach, eine Steigung von 1 bildet einen Winkel von 45° mit der x-Achse, und eine Steigung von 10 ist sehr steil. Der Neigungswinkel θ einer Geraden (gemessen von der positiven x-Achse) hängt mit der Steigung über m = tan(θ) zusammen, bzw. θ = arctan(m). Dieser Rechner berechnet den Winkel zusätzlich zur Steigung in Grad und Bogenmaß.
Die Steigung lässt sich auch direkt aus einer Geraden in Steigungsform y = mx + b ablesen, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist (der y-Wert bei x = 0). Der Gleichungsmodus dieses Rechners analysiert Ausdrücke dieser Form direkt. Zum Beispiel hat die Gleichung y = −2.5x + 7 die Steigung m = −2.5, was bedeutet, dass die Gerade pro 1 Einheit nach rechts um 2.5 Einheiten fällt.
Wenn zwei Punkte gegeben sind, berechnet dieser Rechner außerdem den euklidischen Abstand zwischen ihnen mit der Distanzformel d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), eine direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras in der Koordinatenebene. Er leitet außerdem die vollständige Geradengleichung in Steigungsform y = mx + b her, indem b = y₁ − m·x₁ berechnet wird.
Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Zwei Geraden sind genau dann senkrecht, wenn ihre Steigungen negative Kehrwerte sind: Hat eine Gerade die Steigung m, dann hat die senkrechte Gerade die Steigung −1/m (vorausgesetzt, keine der Geraden ist vertikal oder horizontal). Beispielsweise sind Geraden mit den Steigungen 2 und −0.5 senkrecht. Dieser Zusammenhang ist wichtig in Geometriebeweisen, im technischen Design und in der Computergrafik.
In der Praxis begegnet uns die Steigung ständig. Im Bauingenieurwesen ist die Straßenneigung (in Prozent angegeben) die Steigung mal 100 — eine 5-%-Neigung steigt 5 Meter pro 100 Meter horizontaler Strecke. In der Physik gibt die Steigung eines Weg-Zeit-Diagramms die Geschwindigkeit an, und die Steigung eines Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms die Beschleunigung. In der Wirtschaft beschreibt die Steigung einer Angebots- oder Nachfragekurve die Änderungsrate der Menge mit dem Preis. In der Datenanalyse fasst die Steigung einer linearen Regressionsgeraden den Trend in den Daten zusammen.
Beispiele für den Steigungsrechner
Beispiele für positive Steigung, negative Steigung, Nullsteigung und Eingabe über eine Gleichung.
| Eingabe | Steigung | Hinweise |
|---|---|---|
| Zwei Punkte: (2, 3) und (5, 9) | m = 2 | rise = 9 − 3 = 6, run = 5 − 2 = 3. Steigung = 6/3 = 2. Die Gerade steigt pro 1 Einheit nach rechts um 2 Einheiten an. |
| Zwei Punkte: (−1, 5) und (3, 1) | m = −1 | rise = 1 − 5 = −4, run = 3 − (−1) = 4. Steigung = −4/4 = −1. Die Gerade fällt pro 1 Einheit nach rechts um 1 Einheit. |
| Zwei Punkte: (1, 4) und (6, 4) | m = 0 | Beide y-Koordinaten sind 4. rise = 0. Jede horizontale Gerade hat die Steigung 0. |
| Gleichung: y = −2.5x + 7 | m = −2.5 | Der Koeffizient von x in der Steigungsform ist direkt die Steigung. Winkel ≈ −68.2°. |
So verwendest du den Steigungsrechner
- Wähle die Berechnungsmethode: Klicke auf Aus zwei Punkten, um zwei Koordinatenpaare einzugeben, oder auf Aus der Geradengleichung, um einen Ausdruck y = mx + b zu parsen.
- Für die Zwei-Punkte-Methode gibst du x₁, y₁ für den ersten Punkt und x₂, y₂ für den zweiten Punkt ein. Negative Werte und Dezimalzahlen sind erlaubt.
- Für die Gleichungsmethode gibst du die Gleichung im Feld in der Form y = mx + b ein, zum Beispiel y = 3x - 2.
- Klicke auf Berechnen. Die Steigung, der Neigungswinkel in Grad und Bogenmaß, der Abstand zwischen den Punkten (im Zwei-Punkte-Modus) und die Geradengleichung werden sofort angezeigt.
- Mit Zurücksetzen leerst du alle Felder, oder du nutzt eine der Schnelllade-Beispielschaltflächen für einen typischen Fall.
FAQ zum Steigungsrechner
Was bedeutet eine Steigung von 0?
Eine Steigung von 0 bedeutet, dass die Gerade vollkommen horizontal ist. Die y-Koordinaten aller Punkte auf der Geraden sind identisch, also gibt es keine vertikale Änderung (rise = 0), wenn x zunimmt. Horizontale Geraden haben Gleichungen der Form y = c, wobei c eine Konstante ist.
Was ist eine undefinierte Steigung?
Eine vertikale Gerade hat eine undefinierte Steigung, weil die horizontale Änderung (run) zwischen zwei beliebigen Punkten auf ihr 0 ist. Division durch 0 ist in der Mathematik undefiniert. Vertikale Geraden haben Gleichungen der Form x = c. Dieser Rechner zeigt 'Undefiniert (vertikale Gerade)' an, wenn die beiden eingegebenen x-Koordinaten gleich sind.
Wie finde ich die Steigung aus einem Graphen?
Wähle zwei Punkte auf der Geraden, die auf Gitterpunkten liegen, damit man sie leicht ablesen kann. Zähle den rise (vertikaler Abstand, nach oben positiv) und den run (horizontaler Abstand, nach rechts positiv) zwischen ihnen und teile rise durch run. Steigt die Gerade von links nach rechts, ist die Steigung positiv; fällt sie, ist sie negativ. Du kannst diese beiden Punkte dann in diesen Rechner eingeben, um das Ergebnis zu prüfen.
Wie hängt Steigung mit dem Winkel zusammen?
Die Steigung m ist der Tangens des Neigungswinkels θ: m = tan(θ). Entsprechend gilt θ = arctan(m). Eine Steigung von 1 ergibt einen Winkel von 45°; eine Steigung von −1 ergibt −45°. Der Winkel liegt für Geraden mit definierter Steigung immer im Bereich (−90°, 90°), da arctan den Hauptwert liefert. Dieser Rechner gibt sowohl die Steigung als auch den entsprechenden Winkel aus.
Wie hängen die Steigungen senkrechter Geraden zusammen?
Wenn zwei nicht vertikale Geraden senkrecht sind, sind ihre Steigungen negative Kehrwerte: m₁ · m₂ = −1. Hat eine Gerade zum Beispiel die Steigung 3, dann hat die senkrechte Gerade die Steigung −1/3. Das Produkt ihrer Steigungen ist immer −1. Diese Regel gilt nicht, wenn eine Gerade horizontal (Steigung 0) und die andere vertikal (undefinierte Steigung) ist, aber auch diese Geraden sind senkrecht.
Beeinflusst die Reihenfolge der beiden Punkte die Steigung?
Nein. Wenn du Punkt 1 und Punkt 2 vertauschst, wechseln sowohl der Zähler (y₂ − y₁ wird zu y₁ − y₂) als auch der Nenner (x₂ − x₁ wird zu x₁ − x₂) das Vorzeichen, sodass der Quotient gleich bleibt: (y₁ − y₂) / (x₁ − x₂) = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Die Steigung ist eine Eigenschaft der Geraden, nicht der Benennung ihrer Punkte.