Spirallängenrechner

Eine archimedische Spirale ist eine Polarkurve, deren Radius sich bei Änderung des Winkels mit konstanter Rate verändert. Ihre Gleichung lautet r = a + bθ. Dabei ist a der Radius beim Winkel null, b der radiale Zuwachs pro Radiant und θ der Winkel im Bogenmaß. Gleiche Winkelschritte bewirken daher gleiche Radiusänderungen, sodass benachbarte Windungen einen konstanten Abstand haben. Diese bekannte Spiralform findet sich in aufgewickelten Materialien, Nuten, Spulen, Antennen und mathematischen Modellen. Eine logarithmische Spirale verwendet dagegen r = a mal e hoch bθ. Ihr Radius ändert sich bei gleichen Winkelschritten um einen konstanten Anteil. Der Windungsabstand wächst somit geometrisch statt arithmetisch. Logarithmische Spiralen kommen in Wachstumsmodellen, im Antennenbau und in natürlichen Formen vor. Dieser Rechner unterstützt beide Formen und verwendet die passende exakte Stammfunktion zur gewählten Gleichung. Die Spirallänge lässt sich nicht einfach durch Multiplikation eines mittleren Radius mit einem Winkel bestimmen, da sich die Kurve gleichzeitig um den Ursprung und in radialer Richtung bewegt. Bei einer Polarkurve ist der Integrand für die Bogenlänge die Quadratwurzel aus der Summe von r zum Quadrat und dem Quadrat der Ableitung von r nach θ. Bei einer archimedischen Spirale ist die Ableitung einfach b. Bei einer logarithmischen Spirale ist sie b mal dem aktuellen Radius, woraus eine kompakte exponentielle Längenformel folgt. Die Berechnung wertet geschlossene Ausdrücke aus, anstatt die Kurve in viele kurze Geradenstücke zu zerlegen. Wenn b null ist, haben beide Spiralen einen konstanten Radius und werden zu Kreisbögen. Dann verwendet der Rechner die einfachere Formel Radius mal Winkelspanne. In Grad eingegebene Winkel werden vor der Anwendung jeder Formel ins Bogenmaß umgerechnet. Anfangsradius und Zuwachs sind entsprechend dem gewählten Modell zu verstehen. Der archimedische Zuwachs hat die Einheit Länge pro Radiant; der logarithmische Exponentialfaktor ist dimensionslos. Die berechnete Bogenlänge hat dieselbe Einheit wie der Anfangsradius. Ein negativer Zuwachs beschreibt eine Spirale, die sich bei zunehmendem Winkel nach innen windet. Die Länge bleibt nichtnegativ. Reale Spulen haben Dicke, Verformungen und Toleranzen, die ein ideales Mittellinienmodell nicht abbildet. Verwenden Sie zur Materialplanung den Mittellinienradius eines Bandes oder Drahtes und berücksichtigen Sie einen praktischen Zuschlag. Die Anzeige mit sechs Nachkommastellen liefert ein übersichtliches Ergebnis, während intern die übliche doppelte Genauigkeit erhalten bleibt.