Sinussatz-Rechner - Dreiecke lösen (AAS, ASA, SSA)
Nutzen Sie den Sinussatz, um unbekannte Seiten und Winkel in jedem Dreieck zu bestimmen. Unterstützt AAS, ASA und SSA einschließlich des ambiguen Falls.
Wählen Sie die Konfiguration, die zu Ihren bekannten Werten passt, geben Sie sie unten ein und erhalten Sie sofort alle Seiten, Winkel und Dreieckseigenschaften.
Sinussatz-Rechner - Dreiecke lösen (AAS, ASA, SSA)
Nutzen Sie den Sinussatz, um unbekannte Seiten und Winkel in jedem Dreieck zu bestimmen. Unterstützt AAS, ASA und SSA einschließlich des ambiguen Falls.
Sinussatz-Beispiele
Vier Beispiele für AAS, ASA und beide SSA-Fälle.
| Konfiguration & gegebene Werte | Fehlende Werte | Hinweise |
|---|---|---|
| AAS: A=45°, B=60°, a=10 | C=75°, b≈12.25, c≈13.66 | C = 180−105 = 75°. b = 10⋅sin(60°)/sin(45°) ≈ 12.25. c = 10⋅sin(75°)/sin(45°) ≈ 13.66. |
| ASA: A=30°, c=12, B=50° | C=100°, a≈6.09, b≈9.33 | C = 180−80 = 100°. a = 12⋅sin(30°)/sin(100°) ≈ 6.09. b = 12⋅sin(50°)/sin(100°) ≈ 9.33. |
| SSA: a=15, b=10, A=60° | Eine Lösung: B≈35.26° | sin(B) = 10⋅sin(60°)/15 ≈ 0.5774. Nur die Lösung mit B < 180−A ist gültig. |
| SSA: a=8, b=10, A=40° | Zwei Lösungen: B≈52.47° oder B≈127.53° | Ambiger Fall: sin(B) = 10⋅sin(40°)/8 ≈ 0.8035. Beide arcsin-Werte liefern gültige Dreiecke. |
Über den Sinussatz-Rechner
Der Sinussatz ist einer der beiden grundlegenden Sätze zum Lösen von Dreiecken (der andere ist der Kosinussatz). Für jedes Dreieck mit den Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B, C gilt: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Dieses gemeinsame Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks, eine schöne geometrische Eigenschaft.
Der Sinussatz ist anwendbar, wenn Sie mindestens eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennen, zusammen mit zusätzlichen Informationen, die das Dreieck eindeutig (oder mehrdeutig) bestimmen. Dieser Rechner unterstützt drei Konfigurationen.
AAS (Winkel-Winkel-Seite): Sie kennen zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite. Da die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, wird der dritte Winkel sofort zu C = 180° − A − B berechnet. Dann werden die restlichen Seiten mit b = a⋅sin(B)/sin(A) und c = a⋅sin(C)/sin(A) bestimmt. Die Lösung ist immer eindeutig.
ASA (Winkel-Seite-Winkel): Sie kennen zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen. Die Vorgehensweise ist ähnlich wie bei AAS: zuerst den dritten Winkel berechnen und dann mit dem Sinussatz die anderen beiden Seiten bestimmen. Auch hier ist die Lösung eindeutig.
SSA (Seite-Seite-Winkel): Sie kennen zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel. Das ist der „ambige Fall“. Je nach Werten kann es keine, eine oder zwei gültige Lösungen geben. Der Rechner erkennt alle Fälle: Ist der gegebene Winkel stumpf und die gegenüberliegende Seite länger als die benachbarte Seite, gibt es genau eine Lösung; ist der Winkel spitz, kann es zwei Lösungen geben, wenn die gegenüberliegende Seite kürzer als die benachbarte Seite ist, aber lang genug, um die Grundlinie zu erreichen. Der Rechner gibt beide Lösungen aus, wenn sie existieren.
Der Sinussatz wird häufig in Navigation, Vermessung und Technik eingesetzt. Die Triangulation, also die Bestimmung eines Punktes aus an bekannten Referenzpunkten gemessenen Winkeln, basiert auf wiederholter Anwendung des Sinussatzes. In der Navigation werden Kurs- und Distanzberechnungen zwischen Wegpunkten mit trigonometrischen Gesetzen durchgeführt. In der Statik werden Kräfte in Fachwerkstäben mithilfe des Sinussatzes berechnet, wenn die Geometrie durch Winkel und eine bekannte Seite definiert ist.
Dieser Rechner automatisiert alle drei Konfigurationen, behandelt den ambiguen SSA-Fall transparent und gibt alle Dreieckseigenschaften aus: alle drei Seiten, alle drei Winkel und den Dreieckstyp.
So verwenden Sie den Sinussatz-Rechner
- Wählen Sie die Konfiguration, die zu Ihren bekannten Werten passt: AAS (zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite), ASA (zwei Winkel und die eingeschlossene Seite) oder SSA (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel).
- Geben Sie die bekannten Werte in die entsprechenden Felder ein. Winkel werden in Grad eingegeben.
- Klicken Sie auf Berechnen. Der Rechner wendet den Sinussatz an, um alle unbekannten Seiten und Winkel zu finden.
- Bei SSA prüfen Sie, ob eine oder zwei Lösungen gemeldet werden. Der ambige Fall wird automatisch behandelt.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um alle Felder zu leeren und ein neues Dreieck zu lösen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Sinussatz?
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck das Verhältnis einer Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels konstant ist: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C). Dieses gemeinsame Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des Umkreises. Er wird verwendet, um Dreiecke zu lösen, bei denen mindestens ein Seite-Winkel-Paar (eine Seite und ihr Gegenwinkel) bekannt ist.
Was ist der ambige SSA-Fall?
Der SSA-Fall (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel) heißt ambig, weil er null, eine oder zwei gültige Dreiecke ergeben kann. Wenn der Winkel spitz ist und die gegenüberliegende Seite zwischen der Höhe des Dreiecks und der benachbarten Seite liegt, gibt es zwei mögliche Dreiecke mit unterschiedlichen Konfigurationen. Der Rechner erkennt beide Lösungen automatisch.
Wann sollte ich den Sinussatz statt des Kosinussatzes verwenden?
Verwenden Sie den Sinussatz für AAS-, ASA- und SSA-Konfigurationen. Verwenden Sie den Kosinussatz für SAS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) und SSS (drei Seiten bekannt). Der Kosinussatz vermeidet die Mehrdeutigkeit des SSA-Falls durch das Lösen einer quadratischen Gleichung, während der Sinussatz ein einfacheres Verhältnis nutzt, aber zwei mögliche arcsin-Werte berücksichtigen muss.
Wie gebe ich Winkel in diesem Rechner ein?
Alle Winkel sollten in Grad eingegeben werden. Der Rechner wandelt sie intern für die trigonometrischen Funktionen in Bogenmaß um. Achten Sie bei AAS und ASA darauf, dass die beiden eingegebenen Winkel zusammen weniger als 180° ergeben, damit der dritte Winkel positiv ist. Bei SSA muss der eingegebene Winkel ebenfalls zwischen 0 und 180 Grad liegen.
Was bedeutet „Dreieckstyp“?
Der Rechner klassifiziert Dreiecke nach ihren Winkeln und Seiten. Nach Winkeln: spitzwinklig (alle Winkel < 90°), rechtwinklig (ein Winkel = 90°) oder stumpfwinklig (ein Winkel > 90°). Nach Seiten: gleichseitig (alle Seiten gleich), gleichschenklig (zwei Seiten gleich) oder ungleichseitig (keine gleich langen Seiten). Diese Bezeichnungen erscheinen im Ergebnisbereich, wenn eine gültige Lösung gefunden wurde.
Kann der Sinussatz für rechtwinklige Dreiecke verwendet werden?
Ja. Für ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C gilt sin(C) = sin(90°) = 1, sodass sich der Sinussatz zu a/sin(A) = b/sin(B) = c vereinfacht. Das entspricht den grundlegenden trigonometrischen Formeln für rechtwinklige Dreiecke, sin(A) = a/c und sin(B) = b/c. Der Sinussatz funktioniert für alle Dreiecke, einschließlich rechtwinkliger Dreiecke.