Sinusrechner - Sinus beliebiger Winkel berechnen

Die Sinusfunktion, geschrieben als sin(x), ist neben Kosinus und Tangens eine der drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines spitzen Winkels als Verhältnis der Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite zur Länge der Hypotenuse definiert. Dieses Verhältnis liegt immer zwischen −1 und 1, unabhängig von der Größe des Dreiecks. Damit ist der Sinus eine dimensionslose Größe, die sich hervorragend zur Darstellung von Proportionen und periodischen Phänomenen eignet. Die intuitivste Erweiterung über spitze Winkel hinaus ist der Einheitskreis — ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Jeder vom positiven x-Achsenstrahl aus gemessene Winkel entspricht einem Punkt auf dem Einheitskreis, und der Sinus dieses Winkels ist einfach die y-Koordinate dieses Punkts. Wenn der Winkel von 0° auf 90° ansteigt, wächst die y-Koordinate von 0 auf 1; von 90° bis 180° fällt sie wieder auf 0; von 180° bis 270° sinkt sie auf −1; und von 270° bis 360° kehrt sie auf 0 zurück. So entsteht die charakteristische weiche, sich wiederholende Welle, die als Sinuswelle bekannt ist und die Periode 360° (oder 2π Radiant) besitzt. Winkel können in Grad oder Radiant gemessen werden. Ein voller Kreis entspricht 360° oder 2π Radiant. Zur Umrechnung von Grad in Radiant multipliziert man mit π/180, zur Umrechnung von Radiant in Grad multipliziert man mit 180/π. Viele wissenschaftliche Formeln — insbesondere in Analysis, Physik und Signalverarbeitung — verwenden Radiant, weil die Ableitung von sin(x) im Bogenmaß einfach cos(x) ist, ein sauberes Ergebnis, das bei Grad nicht gilt. Dieser Rechner unterstützt beide Einheiten und rechnet intern um, bevor er berechnet. Die Sinusfunktion ist periodisch mit der Periode 2π Radiant (360°), was bedeutet, dass sin(x + 2π) = sin(x) für alle x gilt. Diese Periodizität erklärt, warum sin(30°) = sin(390°) = sin(750°) = 0.5. Die Funktion ist außerdem ungerade, also sin(−x) = −sin(x); negative Winkel kehren daher einfach das Vorzeichen des Ergebnisses um: sin(−45°) = −sin(45°) ≈ −0.7071. Wichtige Sonderwinkel zum Merken: sin(0°) = 0, sin(30°) = 0.5, sin(45°) = √2/2 ≈ 0.7071, sin(60°) = √3/2 ≈ 0.8660, sin(90°) = 1, sin(180°) = 0, sin(270°) = −1. Diese Werte ergeben sich aus der Geometrie der 30-60-90- und 45-45-90-Dreiecke. In der Praxis begegnet einem der Sinus in sehr vielen Anwendungen. In der Physik folgen die Auslenkung eines Pendels, die Form einer schwingenden Saite und die Spannung eines Wechselstromkreises allesamt Sinuskurven. In der Signalverarbeitung und Audiotechnik kann jede komplexe periodische Wellenform in eine Summe von Sinuswellen unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden zerlegt werden — die Grundlage der Fourier-Analyse. In Navigation und Vermessung verknüpft der Sinussatz (a/sin A = b/sin B = c/sin C) die Seiten und Winkel beliebiger Dreiecke. In der Computergrafik werden Sinus und Kosinus gemeinsam verwendet, um Rotationen zu berechnen, Kreisbewegungen zu erzeugen und flüssige Animationen zu erstellen. Moderne Rechner bestimmen den Sinus meist über effiziente Polynomapproximationen aus der Taylorreihe: sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + …, wobei x im Bogenmaß vorliegt. Diese Reihe konvergiert für alle reellen Zahlen und erreicht in der Nähe von x = 0 mit relativ wenigen Gliedern Maschinenpräzision. Für Winkel weit von Null reduzieren Implementierungen den Winkel zunächst mithilfe der Periodizitäts- und Symmetrieeigenschaften der Funktion auf den Bereich [−π/2, π/2], bevor die Reihe angewendet wird. Dieser Rechner liefert Ergebnisse mit einer Genauigkeit von zehn signifikanten Dezimalstellen.