Sehnenrechner - Sehne, Radius und Mittelpunktswinkel

Eine Sehne ist eines der grundlegenden Liniensegmente der Kreisgeometrie. Sie verbindet zwei verschiedene Punkte auf dem Kreisumfang und teilt das Innere des Kreises in zwei Bereiche. Der Durchmesser ist der Sonderfall einer Sehne, die durch den Mittelpunkt verläuft, und er ist die längste Sehne in jedem Kreis. Jede andere Sehne ist strikt kürzer als der Durchmesser und spannt einen Mittelpunktswinkel auf, der strikt kleiner als 180° ist. Der Zusammenhang zwischen Sehnenlänge, Radius und Mittelpunktswinkel wird durch die Formel c = 2r × sin(θ/2) beschrieben, wobei c die Sehnenlänge, r der Radius und θ der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß ist. Diese Formel ergibt sich aus dem Kosinussatz. Zeichnest du Radien zu beiden Endpunkten der Sehne, erhältst du ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Seiten der Länge r und dem eingeschlossenen Winkel θ. Mit dem Kosinussatz folgt c² = 2r²(1 − cos θ). Mit der Halbwinkelidentität 1 − cos θ = 2 sin²(θ/2) vereinfacht sich das zu c = 2r sin(θ/2). Der Rechner unterstützt drei Modi, die den drei Umstellungen dieser Formel entsprechen. Im Modus Sehnenlänge berechnen gibst du r und θ an, und der Rechner berechnet direkt 2r sin(θ/2). Im Modus Radius berechnen gibst du c und θ an, und der Rechner berechnet r = c / (2 sin(θ/2)); das ist nützlich, wenn du eine Sehne physisch gemessen hast und den Winkel des zugehörigen Bogens kennst. Im Modus Mittelpunktswinkel berechnen gibst du r und c an, und der Rechner berechnet θ = 2 arcsin(c / (2r)), also den Winkel, dessen Sinus c/(2r) ist. Winkeleinheiten lassen sich frei zwischen Grad und Bogenmaß umschalten. Für die meisten Nutzer sind Grad intuitiver und daher die Voreinstellung, in Ingenieur- und Naturwissenschaften wird jedoch oft Bogenmaß verwendet, weil die Beziehung Bogenlänge = r × θ nur im Bogenmaß gilt. Der Rechner rechnet intern um, sodass du das System verwenden kannst, das deine Quelldaten vorgeben. Sehnenberechnungen haben zahlreiche praktische Anwendungen. Im Bauwesen werden bei Bogenbrücken die Beziehungen zwischen Spannweite, Stichhöhe und Krümmungsradius genutzt. Im Maschinenbau hängt die Evolventenverzahnung von Sehnenberechnungen auf Teilkreisen ab. Vermesser kombinieren Sehnen- und Bogenmessungen, um Distanzen zu berechnen, wenn Kurven die Sichtlinie unterbrechen. Im Holzhandwerk verwendet ein Fachmann, der ein gebogenes Werkstück auf eine bestimmte Spannweite zuschneiden muss, genau diese Formel. In der Navigation wurden historisch Sehnentafeln, Vorläufer moderner trigonometrischer Tafeln, verwendet, um Entfernungen auf sphärischen Flächen zu berechnen. Dieser Rechner verarbeitet jede gültige Eingabekombination innerhalb der physikalischen Grenzen: Radien müssen positiv sein, Sehnenlängen müssen positiv sein und dürfen höchstens doppelt so groß wie der Radius sein, und Winkel müssen positiv und kleiner als 360° beziehungsweise 2π Bogenmaß sein. Die Ergebnisse werden auf acht Nachkommastellen gerundet, was für jede praktische Anwendung mehr als ausreichend ist.