Radikalrechner - Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln
Vereinfache beliebige Radikalausdrücke — Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln — durch Ausklammern perfekter Potenzen. Erhalte sofort die vereinfachte Form.
Gib einen Radikanden (die Zahl unter der Wurzel) und den Index (den Grad der Wurzel) ein und klicke dann auf Radikal vereinfachen, um die vereinfachte Form zu sehen.
Radikalrechner - Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln
Vereinfache beliebige Radikalausdrücke — Quadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln — durch Ausklammern perfekter Potenzen. Erhalte sofort die vereinfachte Form.
Über den Radikalrechner
Ein Radikalausdruck besteht aus einem Wurzelzeichen (√), einem Radikanden (der Zahl unter dem Zeichen) und optional einem Index, der klein links oben am Wurzelzeichen steht und den Grad der Wurzel angibt. Die Quadratwurzel ist die bekannteste Wurzel — ihr Index ist implizit 2. Eine Kubikwurzel hat den Index 3, eine vierte Wurzel den Index 4 und so weiter. Die allgemeine Schreibweise ⁿ√a bedeutet die n-te Wurzel von a, also die Zahl b mit bⁿ = a.
Radikale zu vereinfachen bedeutet, sie so umzuschreiben, dass keine perfekten n-ten Potenzen mehr unter dem Wurzelzeichen stehen. Die Methode beruht auf der Produktregel: ⁿ√(a·b) = ⁿ√a · ⁿ√b. Um ⁿ√a zu vereinfachen, zerlegt man a in eine perfekte n-te Potenz und einen Restfaktor. Beispiel √50: 50 = 25 × 2 = 5² × 2, also √50 = √(5²) · √2 = 5√2.
Bei höheren Wurzeln gilt dasselbe Prinzip, nur sucht man nach perfekten n-ten Potenzfaktoren. Für ∛54 gilt: 54 = 27 × 2 = 3³ × 2, also ∛54 = ∛(3³) · ∛2 = 3∛2. Für eine fünfte Wurzel: ⁵√96 = ⁵√(32 × 3) = ⁵√(2⁵ × 3) = 2·⁵√3.
Dieser Radikalrechner erledigt diese Faktorisierung automatisch. Er findet den größten perfekten n-ten Potenzfaktor des Radikanden und zieht dessen n-te Wurzel als Koeffizienten heraus, während der Rest unter dem Wurzelzeichen bleibt. Ist der Radikand selbst eine perfekte n-te Potenz, ist das Ergebnis eine ganze Zahl ohne Wurzel.
Radikalvereinfachung ist in der Algebra unverzichtbar, weil vereinfachte Formen leichter zu vergleichen, zu kombinieren und weiterzuverwenden sind. Radikale wie 3√2 + 5√2 = 8√2 lassen sich nur addieren, wenn die verbleibenden Radikanden gleich sind — man muss also zuerst vereinfachen, um zusammenfassbare Terme zu erkennen. In der Geometrie treten Radikale ständig auf: Die Diagonale eines Einheitsquadrats ist √2, die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a ist (a√3)/2, und der goldene Schnitt enthält √5. Radikalvereinfachung ist daher eine wichtige Grundlage für Algebra, Trigonometrie und Analysis.
Beispiele für den Radikalrechner
Klicke auf ein Beispiel, um es in den Rechner zu laden.
| Eingabe | Vereinfachtes Ergebnis | Methode |
|---|---|---|
| √50 (radicand=50, index=2) | 5√2 | Faktorisieren Sie 50 = 5² × 2. Ziehen Sie √(5²) = 5 nach außen und lassen Sie √2 innen. Dezimal: ≈ 7.0711. |
| ∛54 (radicand=54, index=3) | 3∛2 | Faktorisieren Sie 54 = 3³ × 2. Ziehen Sie ∛(3³) = 3 nach außen und lassen Sie ∛2 innen. Dezimal: ≈ 3.7798. |
| √144 (radicand=144, index=2) | 12 | 144 = 12² ist eine perfekte Quadratzahl, also gilt √144 = 12 genau. Es bleibt kein Wurzelzeichen übrig. |
| ⁵√96 (radicand=96, index=5) | 2·⁵√3 | Faktorisieren Sie 96 = 2⁵ × 3. Ziehen Sie die perfekte 5. Potenz heraus: ⁵√(2⁵) = 2 nach außen, ⁵√3 bleibt innen. |
So verwendest du den Radikalrechner
- Gib den Radikanden — also die Zahl unter dem Wurzelzeichen — in das Feld Radikand ein. Er muss eine positive ganze Zahl sein (Wurzeln geraden Grades aus negativen Zahlen sind komplex).
- Gib den Index, also den Grad der Wurzel, in das Feld Index ein. Verwende 2 für Quadratwurzeln, 3 für Kubikwurzeln oder jede ganze Zahl ≥ 2 für höhere Wurzeln.
- Klicke auf Radikal vereinfachen. Das Ergebnis zeigt die vereinfachte Form als Koeffizienten mal verbleibenden Radikal sowie eine Dezimalnäherung.
- Ist der Radikand eine perfekte n-te Potenz, wird das Ergebnis als ganze Zahl ohne Wurzelzeichen angezeigt.
- Klicke auf Zurücksetzen, um die Felder zu leeren und einen anderen Radikalausdruck zu vereinfachen.
Radikalrechner FAQ
Was bedeutet es, einen Radikal zu vereinfachen?
Einen Radikal zu vereinfachen heißt, ihn so umzuschreiben, dass im Radikanden keine Faktoren verbleiben, die perfekte n-te Potenzen unter dem Wurzelzeichen sind. Die vereinfachte Form besteht aus einem Koeffizienten aus den perfekten Faktoren und einem restlichen Radikal. Beispiel: √72 vereinfacht sich zu 6√2, weil 72 = 36 × 2 und √36 = 6.
Wie vereinfache ich eine Quadratwurzel von Hand?
Finde die größte perfekte Quadratzahl, die den Radikanden teilt. Ziehe ihre Quadratwurzel als Koeffizienten heraus und lasse den Rest unter der Wurzel. Für √200 gilt: 200 = 100 × 2 und √100 = 10, also √200 = 10√2. Alternativ kannst du den Radikanden primfaktorzerlegen und Paare bilden: 200 = 2³ × 5² = (2 × 5²) × 2 → 10√2.
Kann ich einen Radikal mit negativem Radikanden vereinfachen?
Bei Wurzeln mit ungeradem Index (Kubikwurzel, fünfte Wurzel usw.) ist ein negativer Radikand zulässig: ∛-8 = -2, weil (-2)³ = -8. Bei Wurzeln mit geradem Index (Quadratwurzel, vierte Wurzel usw.) führt ein negativer Radikand zu einer imaginären bzw. komplexen Zahl, was außerhalb dieses Rechners liegt. Verwende für gerade Indizes positive Zahlen.
Was ist eine perfekte Quadratzahl und wie hilft sie beim Vereinfachen?
Eine perfekte Quadratzahl ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … Wenn du perfekte Quadratzahlen im Radikanden erkennst, kannst du ganze Zahlen aus der Wurzel herausziehen. Entsprechend werden perfekte Kubikzahlen (1, 8, 27, 64, 125, …) zum Vereinfachen von Kubikwurzeln verwendet.
Was ist die Produktregel für Radikale?
Die Produktregel besagt, dass ⁿ√(a × b) = ⁿ√a × ⁿ√b für nicht negative a und b gilt. Sie ist die zentrale Regel beim Vereinfachen: Zerlege den Radikanden in einen perfekten Potenzfaktor und einen Rest, ziehe die Wurzel des perfekten Faktors und lasse den Rest unter dem Zeichen.
Warum sehe ich Radikale manchmal mit einem Koeffizienten wie 3√5?
Die Schreibweise 3√5 (oder 3·√5) bedeutet dreimal die Quadratwurzel aus fünf. Der Koeffizient 3 wurde unter dem Wurzelzeichen herausgezogen, weil er aus einem perfekten Quadratfaktor stammt. Diese Form heißt vereinfachte Radikalschreibweise und macht es leicht, gleichartige Radikale zu addieren: 3√5 + 2√5 = 5√5, genau wie gleichartige Terme in der Algebra.