Rechner für quadratische Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen der Form ax² + bx + c op 0 analysieren und grafisch darstellen – mit Nullstellen, Scheitel, Lösungsmenge und Intervallschreibweise.
Gib die Koeffizienten a, b, c ein und wähle das Ungleichheitszeichen, um die Parabel zu analysieren und die Lösungsmenge zu bestimmen.
Rechner für quadratische Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen der Form ax² + bx + c op 0 analysieren und grafisch darstellen – mit Nullstellen, Scheitel, Lösungsmenge und Intervallschreibweise.
Über den Rechner für quadratische Ungleichungen
Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung, die einen quadratischen Ausdruck — also ein Polynom 2. Grades — mit einem Wert über <, ≤, > oder ≥ vergleicht. Die häufigste Form ist ax² + bx + c > 0 oder ax² + bx + c < 0, wobei a ≠ 0 gilt. Anders als bei einer quadratischen Gleichung, bei der bestimmte x-Werte gesucht werden, die den Ausdruck zu null machen, sucht man bei einer quadratischen Ungleichung alle x-Werte, für die der Ausdruck positiv, negativ, nicht positiv oder nicht negativ ist. Die Antwort ist typischerweise ein Intervall oder die Vereinigung mehrerer Intervalle auf der reellen Zahlengeraden.
Der Schlüssel zum Lösen quadratischer Ungleichungen ist das Verständnis der Parabel y = ax² + bx + c. Das Vorzeichen von a bestimmt, ob sich die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) öffnet. Die Nullstellen — also die Lösungen der zugehörigen Gleichung ax² + bx + c = 0 — sind die Punkte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet oder berührt. Die Diskriminante Δ = b² − 4ac sagt dir, wie viele reelle Nullstellen existieren: Bei Δ > 0 gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, bei Δ = 0 genau eine (eine doppelte Nullstelle) und bei Δ < 0 keine reellen Nullstellen.
Zum Lösen von ax² + bx + c > 0 bei Δ > 0 und a > 0: Die Parabel öffnet sich nach oben und liegt zwischen ihren beiden Nullstellen unterhalb der x-Achse. Der Ausdruck ist also außerhalb der Nullstellen positiv — also für x < r₁ oder x > r₂. Bei der Ungleichung < 0 unter denselben Bedingungen ist die Lösung das Intervall zwischen den Nullstellen: r₁ < x < r₂. Wenn a < 0 ist, öffnet sich die Parabel nach unten und diese Fälle kehren sich um.
Bei Δ = 0 gibt es nur einen Berührpunkt. Für a > 0 gilt der Ausdruck für alle x als ≥ 0 (und ist an der doppelten Nullstelle genau 0), und für kein x ist er < 0. Wenn Δ < 0 und a > 0 ist, schneidet die Parabel die x-Achse nie und bleibt vollständig darüber, also gilt ax² + bx + c > 0 für alle reellen x und die Ungleichung < 0 hat keine Lösung.
Quadratische Ungleichungen treten bei Wurfbewegungen (wann ist das Projektil über einer bestimmten Höhe?), Optimierung (für welche Eingaben übersteigen Kosten den Umsatz?), Signalverarbeitung (Frequenzbänder) und technischen Toleranzen auf. Die Diskriminantenformel b² − 4ac und die Mitternachtsformel x = (−b ± √Δ) / (2a) sind die beiden wichtigsten Werkzeuge der Analyse.
Dieser Rechner nimmt die Koeffizienten a, b und c sowie das Ungleichheitszeichen entgegen, berechnet dann die Diskriminante, findet eventuelle reelle Nullstellen, bestimmt den Scheitelpunkt und beschreibt die Lösungsmenge sowohl in Klartext als auch in Intervallschreibweise. Außerdem wird die Öffnungsrichtung der Parabel angezeigt, damit du den Graphen leichter visualisieren kannst.
Beispiele für quadratische Ungleichungen
Vier Fälle mit nach oben und unten geöffneten Parabeln, zwei verschiedenen Nullstellen und einer doppelten Nullstelle.
| Ungleichung | Lösungsmenge | Hinweise |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | Die Parabel öffnet sich nach oben, Nullstellen bei x=1 und x=3. Der Ausdruck ist außerhalb der Nullstellen positiv. |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | Die Parabel öffnet sich nach unten, Nullstellen bei x=−1 und x=3. Der Ausdruck ist außerhalb der Nullstellen nicht positiv. |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | Keine Lösung | Die Diskriminante Δ = 9 − 32 = −23 < 0 und a > 0, daher ist der Ausdruck immer positiv. |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | Alle reellen Zahlen | Doppelte Nullstelle bei x=3 (ein vollständiges Quadrat). Der Ausdruck ist nur bei x=3 gleich 0 und sonst positiv. |
So benutzt du den Rechner für quadratische Ungleichungen
- Gib den Koeffizienten a (x²-Term), b (x-Term) und c (Konstante) ein. a darf nicht 0 sein.
- Wähle im Dropdown das Ungleichheitszeichen: >, ≥, < oder ≤.
- Klicke auf „Ungleichung zeichnen“. Der Rechner berechnet die Diskriminante, findet die Nullstellen (falls vorhanden), bestimmt den Scheitelpunkt und ermittelt die vollständige Lösungsmenge.
- Lies die Lösungsmenge in Intervallschreibweise im Ergebnisbereich. Das Symbol ∪ bedeutet, dass die Lösung aus zwei getrennten Intervallen besteht.
- Mit Zurücksetzen kannst du alle Felder löschen und eine neue Aufgabe beginnen.
FAQ zum Rechner für quadratische Ungleichungen
Was ist eine quadratische Ungleichung?
Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung der Form ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ≥ oder ≤, wobei a ≠ 0 gilt. Statt wie bei einer Gleichung bestimmte x-Werte zu finden, sucht man alle x-Werte, die die Ungleichung erfüllen — typischerweise einen Bereich oder die Vereinigung mehrerer Bereiche.
Wie beeinflusst das Vorzeichen des Leitkoeffizienten a die Lösung?
Wenn a > 0 ist, öffnet sich die Parabel nach oben, sodass der Ausdruck zwischen den Nullstellen negativ und außerhalb positiv ist. Wenn a < 0 ist, öffnet sich die Parabel nach unten, sodass der Ausdruck zwischen den Nullstellen positiv und außerhalb negativ ist. Das Vorzeichen von a kehrt die Lösungsmenge im Wesentlichen um.
Was passiert bei einer negativen Diskriminante?
Wenn Δ = b² − 4ac < 0 ist, schneidet die Parabel die x-Achse nicht. Bei a > 0 ist der Ausdruck immer positiv, also gilt ax²+bx+c > 0 für alle reellen x (Lösung = ℝ), und ax²+bx+c < 0 hat keine Lösung. Bei a < 0 ist es umgekehrt.
Was ist eine doppelte Nullstelle und was bedeutet sie für die Lösung?
Eine doppelte Nullstelle liegt vor, wenn Δ = 0 ist; die Parabel berührt dann die x-Achse genau in einem Punkt. Für a > 0 gilt der Ausdruck für alle x als ≥ 0 (die Lösung für ≥ sind alle reellen Zahlen), und er ist niemals strikt negativ (keine Lösung für <). Bei der ≤-Ungleichung mit doppelter Nullstelle r ist die Lösung nur der einzelne Punkt x = r.
Wie lese ich die Intervallschreibweise im Ergebnis?
Runde Klammern ( ) bedeuten strikte Grenzen (nicht enthalten, verwendet bei > oder <), eckige Klammern [ ] bedeuten eingeschlossene Grenzen (verwendet bei ≥ oder ≤). Das Symbol ∪ bedeutet „Vereinigung“ — die Lösung ist die Menge aller Zahlen aus einem der beiden Intervalle.
Kann die Lösung alle reellen Zahlen sein?
Ja. Wenn a > 0 und Δ < 0 ist, dann gilt ax² + bx + c > 0 für alle reellen x, also ist die Lösung von ax²+bx+c > 0 (oder ≥ 0) ℝ. Ebenso gilt bei a < 0 und Δ < 0: ax²+bx+c < 0 für alle reellen x.