Rechner zur Produktregel der Kombinatorik

Das grundlegende Zählprinzip, auch Produktregel genannt, bestimmt die Anzahl möglicher Ergebnisse eines Vorgangs mit mehreren aufeinanderfolgenden Stufen. Gibt es für eine Stufe m Möglichkeiten und für eine zweite unabhängige Stufe n Möglichkeiten, gibt es insgesamt m × n Möglichkeiten. Dasselbe gilt für beliebig viele Stufen: Alle Anzahlen werden miteinander multipliziert. Dieser Rechner unterstützt zwei bis vier Stufen und liefert die Summe der Möglichkeiten mit exakter Ganzzahlarithmetik. Angenommen, Sie stellen ein Outfit aus vier Hemden und drei Hosen zusammen. Jedes Hemd lässt sich mit jeder der drei Hosen kombinieren. Das ergibt 4 × 3 = 12 Outfits. Kommen zwei Paar Schuhe zur Auswahl hinzu, werden daraus 4 × 3 × 2 = 24. Ein Baumdiagramm könnte jeden Zweig aufführen, doch die Multiplikation liefert dasselbe Ergebnis wesentlich schneller. Besonders hilfreich ist das Prinzip, wenn das Auflisten aller Ergebnisse mühsam oder unmöglich wäre. Die Stufen müssen keine körperlichen Gegenstände betreffen. Ein Produktcode mit zwei möglichen Buchstaben an erster, fünf Ziffern an zweiter und drei Symbolen an dritter Stelle hat 2 × 5 × 3 = 30 mögliche Ausprägungen, sofern nach jeder früheren Wahl weiterhin alle nachfolgenden Optionen verfügbar sind. Menüs, Reiserouten, Passwörter, Versuchspläne, Computerzustände und Antwortmuster in Umfragen folgen derselben Regel. Entscheidend ist, dass jede eingegebene Anzahl für jede zuvor entstandene Kombination gilt. Hängen spätere Möglichkeiten von früheren Entscheidungen ab, muss das einfache Produkt gegebenenfalls angepasst werden. Wählt man beispielsweise zwei unterschiedliche Schüler für unterscheidbare Rollen, lautet die Anzahl nicht n × n, da der erste Schüler nicht erneut gewählt werden kann, sondern n × (n - 1). Einschränkungen lassen sich häufig berücksichtigen, indem man je Stufe nur die tatsächlich verfügbaren Möglichkeiten zählt oder das Problem in Fälle aufteilt und deren Anzahlen addiert. Zählen ist eng mit Wahrscheinlichkeit verbunden. Bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit häufig aus günstigen Ergebnissen geteilt durch alle Ergebnisse. Die Produktregel liefert einen oder beide dieser Werte. Sie bildet außerdem die Grundlage für Permutationen, Kombinationen und Fakultätsformeln. Nutzen Sie den Rechner, wenn sich eine Aufgabe als Folge unabhängiger Auswahlen darstellen lässt. Bestimmen Sie die Stufen, zählen Sie deren Möglichkeiten und geben Sie die positiven ganzen Zahlen ein. Durch Multiplikation erhalten Sie die Größe des gesamten Ergebnisraums, ohne ihn einzeln aufzulisten.