Partialbruchzerlegung Rechner
Zerlege jeden echten rationalen Ausdruck in eine Summe einfacher Partialbrüche — gib Zähler- und Nennerpolynome ein und erhalte die vollständige Zerlegung sofort.
Gib Polynome in der Standardnotation ein (z. B. x^2 + 3x + 2). Der Grad des Zählers muss kleiner sein als der Grad des Nenners.
Partialbruchzerlegung Rechner
Zerlege jeden echten rationalen Ausdruck in eine Summe einfacher Partialbrüche — gib Zähler- und Nennerpolynome ein und erhalte die vollständige Zerlegung sofort.
Über den Partialbruchzerlegung Rechner
Die Partialbruchzerlegung ist eine algebraische Technik, die einen rationalen Ausdruck — also einen Bruch, dessen Zähler und Nenner beide Polynome sind — als Summe einfacherer Brüche schreibt. Sie ist das Umkehren des Zusammenfassens von Brüchen über einen gemeinsamen Nenner: Statt Brüche zu addieren, zerlegt man einen komplizierten Bruch. Das Ergebnis sind Terme, deren Integrale, inverse Laplace-Transformationen oder andere Operationen sich deutlich leichter berechnen lassen.
Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass sich jedes Polynom über den reellen Zahlen als Produkt linearer Faktoren (x − r) für reelle Nullstellen r und irreduzibler quadratischer Faktoren (x² + px + q) für komplex konjugierte Nullstellen schreiben lässt. Bei der Partialbruchzerlegung wird zunächst der Nenner faktorisiert und dann der ursprüngliche Bruch als Summe von Termen mit diesen Faktoren im Nenner geschrieben. Für einen einfachen linearen Faktor (x − r) lautet der entsprechende Term A/(x − r) für eine Konstante A. Für einen mehrfachen linearen Faktor (x − r)ⁿ benötigt man n Terme: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. Für einen irreduziblen quadratischen Faktor (x² + px + q) lautet der Term (Ax + B)/(x² + px + q).
Die Konstanten werden mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten bestimmt: Man multipliziert beide Seiten der Zerlegungsgleichung mit dem Nenner, setzt dann geeignete x-Werte ein (etwa die Nullstellen) oder vergleicht die Koeffizienten gleicher Potenzen von x, um ein Gleichungssystem aufzustellen. Die Lösung dieses Systems liefert die exakten Werte aller Konstanten.
Partialbrüche sind in der Integralrechnung unverzichtbar. Das Integral von 1/(x − r) ist ln|x − r| und das Integral von 1/(x − r)² ist −1/(x − r); beides lässt sich mit elementaren Formeln berechnen. Ohne Zerlegung müsste man bei etwas wie (5x − 4)/(x² − x − 2) eine schwer erkennbare Substitution finden; mit Zerlegung wird derselbe Ausdruck zu 2/(x − 2) + 3/(x + 1), und jeder Teil ist sofort integrierbar.
Über die Analysis hinaus tauchen Partialbrüche in der Regelungstechnik bei der inversen Laplace-Transformation auf, um Zeitantworten von durch Übertragungsfunktionen beschriebenen Systemen zu bestimmen; in der Signalverarbeitung bei der Analyse von z-Transformationsdarstellungen digitaler Filter; und in der Algebra zur Vereinfachung komplexer rationaler Ausdrücke vor weiteren Umformungen. Das Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems für die unbekannten Konstanten ist die Kernkompetenz, und dieser Rechner zeigt jeden Schritt, damit du die Herleitung nachvollziehen und ein Gefühl dafür entwickeln kannst.
Beispiele für Partialbruchzerlegung
Ausgerechnete Beispiele mit verschiedenen linearen Faktoren, kubischen Nennern und konstanten Zählern.
| Rationaler Ausdruck | Zerlegung | Wichtige Beobachtung |
|---|---|---|
| (5x − 4) / (x² − x − 2) | 2/(x − 2) + 3/(x + 1) | Der Nenner faktorisiert zu (x − 2)(x + 1). Zwei verschiedene lineare Faktoren; per Cover-up erhält man A = 2, B = 3. |
| (x² + 12x + 12) / (x³ − 4x) | −3/x + 2/(x − 2) + 2/(x + 2) | Nenner = x(x − 2)(x + 2). Setze x = 0, 2, −2 ein, um die Konstanten zu finden. |
| 1 / (x² + x) | 1/x − 1/(x + 1) | Nenner = x(x + 1). Konstanter Zähler; A = 1, B = −1 durch Einsetzen. |
| (8x² − 3x + 10) / (x³ − 2x² + 4x − 8) | 3/(x − 2) + (5x + 2)/(x² + 4) | Nenner = (x − 2)(x² + 4). Linearer Faktor + irreduzibler quadratischer Faktor. |
So verwendest du den Partialbruchzerlegung Rechner
- Gib den Zähler im Feld Zähler P(x) in Standardnotation ein, z. B. 5x - 4 oder x^2 + 3.
- Gib den Nenner im Feld Nenner Q(x) ein, z. B. x^2 - x - 2.
- Prüfe, dass der Grad des Zählers strikt kleiner ist als der Grad des Nenners; andernfalls zuerst Polynomdivision durchführen.
- Klicke auf Berechnen. Der Rechner faktorisiert den Nenner und verwendet die Heaviside-Cover-up-Methode, um alle Konstanten zu bestimmen.
- Klicke auf Zurücksetzen, um beide Felder zu leeren und eine neue Zerlegung zu beginnen.
FAQ zur Partialbruchzerlegung
Was ist Partialbruchzerlegung?
Die Partialbruchzerlegung schreibt einen rationalen Ausdruck P(x)/Q(x) als Summe einfacherer Brüche um, deren Nenner Faktoren von Q(x) sind. Sie ist das Gegenstück zum Addieren von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner und macht den Ausdruck viel leichter integrierbar oder invertierbar.
Wann kann ich Partialbrüche verwenden?
Du kannst sie verwenden, wenn es sich um eine echte rationale Funktion handelt — also wenn der Grad des Zählers strikt kleiner ist als der Grad des Nenners. Ist der Ausdruck unecht (Zählergrad ≥ Nennergrad), musst du zuerst dividieren und erhältst ein Polynom plus einen echten Rest, den du dann zerlegst.
Wie finde ich die Konstanten A, B, C?
Multipliziere beide Seiten mit dem faktorisierten Nenner, um alle Brüche zu beseitigen, und bestimme dann die Konstanten. Die schnellste Methode ist, die Nullstellen der linearen Faktoren in x einzusetzen (jede Nullstelle macht alle Terme bis auf einen zu null). Bei irreduziblen quadratischen Faktoren entwickelt man aus und vergleicht die Koeffizienten gleicher Potenzen von x.
Was ist bei wiederholten Faktoren im Nenner?
Ein wiederholter linearer Faktor (x − r)ⁿ benötigt n getrennte Terme: A₁/(x − r) + A₂/(x − r)² + … + Aₙ/(x − r)ⁿ. Jede Potenz führt eine unabhängige unbekannte Konstante ein, die meist durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich bestimmt wird.
Warum bekommen irreduzible quadratische Faktoren einen linearen Zähler (Ax + B)?
Ein irreduzibler quadratischer Faktor x² + px + q lässt sich nicht in reelle lineare Faktoren zerlegen. Der Partialbruch dazu muss einen um eins niedrigeren Zählergrad als der Nenner haben, also (Ax + B)/(x² + px + q) mit zwei unbekannten Konstanten A und B.
Was ist die wichtigste Anwendung von Partialbrüchen?
Die häufigste Anwendung ist die Integration in der Analysis: Einfache Brüche wie A/(x − r) integrieren zu A·ln|x − r| und machen sonst schwierige Integrale handhabbar. Partialbrüche sind ebenso wichtig in der Technik für inverse Laplace-Transformationen von Übertragungsfunktionen und inverse z-Transformationen digitaler Filter.