Matrixmultiplikationsrechner
Multipliziere zwei Matrizen mit kompatiblen Dimensionen sofort — erhalte die Ergebnismatrix mit automatischer Dimensionsprüfung für lineare Algebra und Technik.
Gib Matrix A und Matrix B ein, verwende Semikolons für Zeilen und Kommas für Spalten, und klicke dann auf Berechnen, um ihr Produkt zu berechnen.
Matrixmultiplikationsrechner
Multipliziere zwei Matrizen mit kompatiblen Dimensionen sofort — erhalte die Ergebnismatrix mit automatischer Dimensionsprüfung für lineare Algebra und Technik.
Trenne Zeilen mit Semikolons (;) und Spalten mit Kommas (,). Für A × B muss die Anzahl der Spalten in A der Anzahl der Zeilen in B entsprechen.
Über den Matrixmultiplikationsrechner
Matrixmultiplikation ist eine der zentralen Operationen der linearen Algebra. Anders als die Addition, die einfach entsprechende Elemente kombiniert, ist die Multiplikation durch eine Skalarprodukt-Regel definiert, die die Zeilen der ersten Matrix mit den Spalten der zweiten verbindet. Das Ergebnis beschreibt, wie sich zwei lineare Transformationen zusammensetzen — B zuerst anzuwenden und dann A bewirkt dasselbe wie die Anwendung der einzelnen Matrix AB.
Damit das Produkt A × B definiert ist, muss die Anzahl der Spalten in A der Anzahl der Zeilen in B entsprechen. Ist A eine m×n-Matrix und B eine n×p-Matrix, dann ist das Produkt C = A × B eine m×p-Matrix. Der Eintrag C[i][j] wird als Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B berechnet: C[i][j] = Σ(k=0 to n−1) A[i][k] × B[k][j]. Das bedeutet, dass jeder Eintrag im Ergebnis von einer ganzen Zeile aus A und einer ganzen Spalte aus B abhängt.
Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: Im Allgemeinen gilt AB ≠ BA, und BA ist möglicherweise nicht einmal definiert, wenn die Dimensionen von A und B das nicht zulassen. Sie ist jedoch assoziativ: (AB)C = A(BC), was bedeutet, dass du eine Kette von Multiplikationen in beliebiger Reihenfolge gruppieren kannst, ohne das Endergebnis zu ändern.
Die Multiplikation mit der Einheitsmatrix lässt jede Matrix unverändert: AI = IA = A. Das entspricht der Rolle, die die 1 bei gewöhnlicher Multiplikation spielt. Die Einheitsmatrix hat auf der Hauptdiagonalen 1 und sonst überall 0.
In Anwendungen fasst Matrixmultiplikation eine Vielzahl von Berechnungen in einer kompakten Notation zusammen. In der Computergrafik werden damit Rotationen, Translationen und Perspektivprojektionen auf 3D-Koordinaten angewendet. In der Robotik werden Ketten von Rotationsmatrizen verwendet, um zwischen Bezugssystemen zu transformieren. Im maschinellen Lernen ist der Forward Pass einer neuronalen Netzwerkschicht im Wesentlichen eine Matrix-Vektor-Multiplikation: output = W × input + bias. Markow-Ketten, Adjazenzberechnungen in Graphen und die Kovarianzfortpflanzung in der Statistik beruhen ebenfalls auf Matrixmultiplikation. Das Verständnis der Matrixmultiplikation ist daher eine wesentliche Fähigkeit für alle, die in einem quantitativen Bereich arbeiten.
Beispiele für Matrixmultiplikation
Vier Beispiele mit quadratischen und nicht quadratischen Matrixprodukten inklusive schrittweiser Elementberechnungen.
| Eingabe | Produkt | Hinweise |
|---|---|---|
| A = [[1,2],[3,4]], B = [[2,0],[1,2]] | [[4,4],[10,8]] | C[0][0] = 1×2 + 2×1 = 4. C[0][1] = 1×0 + 2×2 = 4. C[1][0] = 3×2 + 4×1 = 10. C[1][1] = 3×0 + 4×2 = 8. |
| A = [[1,2,3]], B = [[4],[5],[6]] | [[32]] | A ist 1×3 und B ist 3×1. Das Produkt ist 1×1: 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4+10+18 = 32. Das ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren. |
| A = [[1,0],[0,1]], B = [[7,3],[2,8]] | [[7,3],[2,8]] | Die Multiplikation mit der 2×2-Einheitsmatrix lässt B unverändert. Die Einheitsmatrix ist das multiplikative neutrale Element der Matrixmultiplikation. |
| A = [[1,2],[3,4],[5,6]], B = [[7,8,9],[10,11,12]] | [[27,30,33],[61,68,75],[95,106,117]] | A ist 3×2 und B ist 2×3, also ist das Produkt 3×3. C[0][0] = 1×7 + 2×10 = 27. C[2][2] = 5×9 + 6×12 = 45+72 = 117. |
So verwendest du den Matrixmultiplikationsrechner
- Gib Matrix A im ersten Feld ein. Verwende Kommas zur Trennung der Elemente innerhalb einer Zeile und Semikolons zur Trennung der Zeilen. Zum Beispiel steht 1,2;3,4 für [[1,2],[3,4]].
- Gib Matrix B im zweiten Feld im gleichen Format ein. Damit A × B funktioniert, muss die Anzahl der Spalten in A der Anzahl der Zeilen in B entsprechen.
- Klicke auf Berechnen. Die Produktmatrix C = A × B wird darunter angezeigt, mit den Dimensionen (Zeilen von A) × (Spalten von B).
- Bei Bedarf kannst du einen einzelnen Eintrag per Hand prüfen: Wähle eine beliebige Position [i][j] im Ergebnis und berechne das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.
- Klicke auf Zurücksetzen, um beide Eingaben zu löschen und eine neue Berechnung zu starten, oder ändere eine der Matrizen, um zu sehen, wie sich das Produkt verändert.
Häufig gestellte Fragen
Wann können zwei Matrizen multipliziert werden?
Zwei Matrizen A und B können nur dann multipliziert werden (als A × B), wenn die Anzahl der Spalten in A der Anzahl der Zeilen in B entspricht. Ist A eine m×n- und B eine n×p-Matrix, dann existiert das Produkt und ist eine m×p-Matrix. Wenn diese innere Dimensionsbedingung nicht erfüllt ist, ist die Multiplikation nicht definiert.
Ist Matrixmultiplikation kommutativ?
Nein. Im Allgemeinen gilt AB ≠ BA, selbst wenn beide Produkte definiert sind. Wenn A beispielsweise eine Rotation und B eine Scherung darstellt, führen unterschiedliche Reihenfolgen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Diese Nichtkommutativität ist eines der Merkmale, die die Matrizenalgebra von der normalen Zahlenrechnung unterscheiden.
Was ist die Einheitsmatrix?
Die Einheitsmatrix I ist eine quadratische Matrix mit 1 auf der Hauptdiagonalen und 0 an allen anderen Stellen. Multipliziert man eine beliebige Matrix A mit I, bleibt A unverändert: AI = IA = A. Die Einheitsmatrix erfüllt bei der Matrixmultiplikation dieselbe Rolle wie die Zahl 1 bei der Skalarmultiplikation.
Wie wird Matrixmultiplikation im Machine Learning verwendet?
In neuronalen Netzen wird der Forward Pass durch eine voll verbundene Schicht als output = W × input + bias berechnet, wobei W die Gewichtsmatrix und input ein Spaltenvektor ist. Beim Backpropagation-Verfahren werden Gradienten mithilfe von Transponiert-Matrixmultiplikationen weitergegeben. Batch-Berechnungen erweitern dies auf Matrix-Matrix-Multiplikation und machen GPUs dadurch sehr effizient für das Training neuronaler Netze.
Was ist der Unterschied zwischen elementweiser und Matrixmultiplikation?
Die elementweise Multiplikation (Hadamard-Produkt) multipliziert entsprechende Elemente zweier gleich großer Matrizen: (A ⊙ B)[i][j] = A[i][j] × B[i][j]. Matrixmultiplikation verwendet Skalarprodukte von Zeilen und Spalten: (AB)[i][j] = Σ A[i][k] × B[k][j]. Es sind unterschiedliche Operationen mit unterschiedlichen Anforderungen und Ergebnissen.
Können nicht quadratische Matrizen multipliziert werden?
Ja. Nicht quadratische Matrizen können multipliziert werden, solange die inneren Dimensionen übereinstimmen. Beispielsweise ergibt eine 2×3-Matrix mal eine 3×4-Matrix eine 2×4-Matrix. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenanzahl der ersten und die Spaltenanzahl der zweiten Matrix. Nicht quadratische Produkte sind in der Praxis sehr häufig — etwa wenn ein Batch von Eingabevektoren (n×d) mit einer Gewichtsmatrix (d×k) multipliziert wird und die Ausgaben der Schicht (n×k) entstehen.