Kosinussatz-Rechner - Beliebiges Dreieck lösen (SAS/SSS)
Löse beliebige Dreiecke mit dem Kosinussatz. Finde bei SAS eine fehlende Seite oder bei SSS einen fehlenden Winkel.
Wähle, ob du eine fehlende Seite (SAS) oder einen fehlenden Winkel (SSS) bestimmen willst, gib die bekannten Werte ein und erhalte sofort das Ergebnis.
Kosinussatz-Rechner - Beliebiges Dreieck lösen (SAS/SSS)
Löse beliebige Dreiecke mit dem Kosinussatz. Finde bei SAS eine fehlende Seite oder bei SSS einen fehlenden Winkel.
Kosinussatz-Beispiele
Vier typische Szenarien für SAS- und SSS-Konfigurationen, einschließlich eines stumpfwinkligen Dreiecks.
| Bekannte Werte | Ergebnis | Konfiguration |
|---|---|---|
| a=5, b=7, C=45° (SAS) | c ≈ 4.950 | c² = 25 + 49 − 2(5)(7)cos(45°) = 74 − 49.497 ≈ 24.503, c ≈ 4.950. |
| a=8, b=6, c=10 (SSS) | C = 90° | cos(C) = (64+36−100)/(2×48) = 0/96 = 0, also C = arccos(0) = 90° (rechtwinkliges Dreieck). |
| a=10, b=12, C=120° (SAS, obtuse) | c ≈ 19.08 | c² = 100+144−2(10)(12)cos(120°) = 244+120 = 364, c = √364 ≈ 19.08. |
| a=9, b=9, c=6 (SSS, isosceles) | C ≈ 38.94° | cos(C) = (81+81−36)/(2×81) = 126/162 ≈ 0.7778, C = arccos(0.7778) ≈ 38.94°. |
Über den Kosinussatz-Rechner
Der Kosinussatz ist ein grundlegender Satz der Trigonometrie, der den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke erweitert, nicht nur auf rechtwinklige. Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und c gegenüber den Winkeln A, B und C gilt: c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Wenn C = 90° ist, dann ist cos(C) = 0 und die Formel reduziert sich auf den vertrauten Satz des Pythagoras c² = a² + b².
Der Kosinussatz wird in zwei Hauptkonfigurationen verwendet. In der Seiten-Winkel-Seiten-Konfiguration (SAS) kennt man zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel und sucht die dritte Seite. In der Seiten-Seiten-Seiten-Konfiguration (SSS) kennt man alle drei Seiten und sucht einen Winkel. Durch Umstellen der Formel ergibt sich für SSS: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2ab), und C ist der Arkuskosinus dieses Werts.
Der Kosinussatz steht in enger Beziehung zum Sinussatz, ist aber dort nützlich, wo der Sinussatz nicht direkt anwendbar ist. Der Sinussatz benötigt entweder zwei Winkel und eine Seite (AAS/ASA) oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (SSA, mit dem ambigen Fall). Der Kosinussatz behandelt SAS und SSS sauber und liefert in jedem Fall eine eindeutige Lösung (vorausgesetzt, die Eingaben beschreiben ein reelles Dreieck).
Praktische Anwendungen gibt es reichlich in Vermessung, Navigation, Architektur, Ingenieurwesen und Physik. Vermesser nutzen den Kosinussatz, um Entfernungen zwischen Punkten zu berechnen, wenn direkte Messungen nicht möglich sind. Navigationssoftware berechnet Peilung und Entfernung zwischen zwei GPS-Koordinaten mit sphärischen Varianten derselben Formel. Bauingenieure berechnen Kräfte in Fachwerkstäben, die von der Dreiecksgeometrie abhängen. Auch in der Computergrafik wird der Kosinussatz eingesetzt, um Winkel zwischen Mesh-Kanten zu bestimmen.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90°, und sein Kosinus ist negativ, wodurch c² > a² + b² wird. Der Kosinussatz verarbeitet das problemlos, da die Formel sowohl positive als auch negative Kosinuswerte zulässt. Das ist ein Vorteil gegenüber einfacheren Methoden, die einen rechten Winkel voraussetzen.
Dieser Rechner unterstützt sowohl SAS- als auch SSS-Fälle. Bei SAS gibst du die Seiten a und b sowie den eingeschlossenen Winkel C ein; das Tool berechnet Seite c. Bei SSS gibst du alle drei Seiten a, b und c ein; das Tool berechnet Winkel C. Die Ergebnisse werden mit der verwendeten Formel angezeigt, damit du die Rechnung manuell überprüfen kannst.
So verwendest du den Kosinussatz-Rechner
- Wähle den Berechnungsmodus: „Seite berechnen (SAS)“, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst, oder „Winkel berechnen (SSS)“, wenn du alle drei Seiten kennst.
- Bei SAS gibst du die Längen der Seiten a und b sowie den eingeschlossenen Winkel C (in Grad) ein.
- Bei SSS gibst du die Längen aller drei Seiten a, b und c ein.
- Klicke auf Berechnen. Das Tool wendet den Kosinussatz an und zeigt die fehlende Seite oder den fehlenden Winkel an.
- Klicke auf Zurücksetzen, um alle Felder zu leeren und ein anderes Dreieck zu lösen.
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Kosinussatz?
Der Kosinussatz besagt, dass für jedes Dreieck mit den Seiten a, b, c und den gegenüberliegenden Winkeln A, B, C gilt: c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C). Er erweitert den Satz des Pythagoras auf nicht rechtwinklige Dreiecke, wobei der Kosinus-Term die Abweichung vom rechten Winkel ausgleicht. Wenn C = 90° ist, dann ist cos(C) = 0 und der bekannte Satz des Pythagoras ist wiederhergestellt.
Wann sollte ich den Kosinussatz statt des Sinussatzes verwenden?
Verwende den Kosinussatz bei SAS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel) oder SSS (drei Seiten). Der Sinussatz ist für AAS- und ASA-Fälle besser geeignet. Bei SSA funktioniert der Sinussatz zwar, führt aber zum ambigen Fall; der Kosinussatz vermeidet diese Mehrdeutigkeit durch das Lösen einer quadratischen Gleichung, auch wenn eine Lösung möglicherweise nicht passt.
Kann der Kosinussatz stumpfwinklige Dreiecke behandeln?
Ja. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist der Winkel über 90° und sein Kosinus negativ. Die Formel c² = a² + b² − 2ab⋅cos(C) gilt weiterhin; der negative Kosinus macht c² größer als a² + b² und zeigt korrekt, dass c die längste Seite gegenüber dem stumpfen Winkel ist.
Wie finde ich alle Winkel eines Dreiecks aus drei Seiten?
Wende den Kosinussatz dreimal mit verschiedenen Buchstabenbelegungen an. Berechne zuerst C = arccos((a²+b²−c²)/(2ab)), dann B = arccos((a²+c²−b²)/(2ac)) und schließlich A = 180° − B − C. Alternativ folgt der dritte Winkel, sobald zwei Winkel bekannt sind, aus der Winkelsumme.
Was passiert, wenn die Eingaben kein gültiges Dreieck bilden?
Für SSS muss die Dreiecksungleichung gelten: Jede Seite muss kleiner als die Summe der beiden anderen sein. Ist das verletzt, gibt es kein gültiges Dreieck und die Formel liefert |cos(C)| > 1, wofür kein reeller Arkuskosinus existiert. Dieser Rechner erkennt den Fall und zeigt eine Fehlermeldung an.
Ist der Kosinussatz dasselbe wie die Kosinusregel?
Ja. Kosinussatz und Kosinusregel bezeichnen denselben Satz. „Kosinusregel“ ist im britischen Bildungsbereich gebräuchlicher, während „Kosinussatz“ in deutschen Lehrbüchern häufiger ist. Formel und Anwendung sind identisch.