Komplexe Wurzeln berechnen - n-te Wurzeln nach De Moivre
Finde jede n-te Wurzel einer beliebigen komplexen Zahl a + bi mithilfe von Polarform und dem Satz von De Moivre, mit kartesischer und Polar-Ausgabe für jede Wurzel.
Gib den Real- und Imaginärteil deiner komplexen Zahl zusammen mit dem Wurzelgrad ein und lies in Sekunden alle n verschiedenen Wurzeln ab.
Komplexe Wurzeln berechnen - n-te Wurzeln nach De Moivre
Finde jede n-te Wurzel einer beliebigen komplexen Zahl a + bi mithilfe von Polarform und dem Satz von De Moivre, mit kartesischer und Polar-Ausgabe für jede Wurzel.
Über den Rechner für komplexe Wurzeln
Jede nichtnull komplexe Zahl hat genau n verschiedene n-te Wurzeln, und dieser Rechner findet sie alle auf einmal mithilfe der Polarform einer komplexen Zahl und des Satzes von De Moivre. Für eine komplexe Zahl z = a + bi gilt: Der Betrag ist r = √(a² + b²), und das Argument ist θ = atan2(b, a). In Polarform schreibt man z = r(cosθ + i·sinθ), und die n n-ten Wurzeln lauten z_k = r^(1/n) · (cos((θ + 2πk)/n) + i·sin((θ + 2πk)/n)) für k = 0, 1, …, n − 1.
Geometrisch liegen die n Wurzeln auf einem Kreis mit Radius r^(1/n) um den Ursprung der komplexen Ebene und sind gleichmäßig um 2π/n Radiant voneinander entfernt. Die Wurzel mit k = 0 heißt Hauptwurzel und liegt am nächsten an der positiven reellen Achse (ihr Argument ist θ/n). Eine Drehung um 2π/n um den Ursprung bildet eine Wurzel auf die nächste ab, weshalb die Einheitswurzeln ein regelmäßiges n-Eck im Einheitskreis bilden.
Komplexe Wurzeln sind nicht nur eine algebraische Kuriosität. In der Elektrotechnik beschreiben Einheitswurzeln Phasoren in Dreiphasensystemen und bilden die Grundlage der diskreten Fourier-Transformation in der digitalen Signalverarbeitung. In der Regelungstheorie bestimmen die Lagen der Wurzeln in der komplexen Ebene die Stabilität linearer Systeme. In der Quantenmechanik tauchen komplexe Amplituden und ihre Wurzeln in Wellenfunktionen und bei periodischen Potentialen auf. Selbst in der Zahlentheorie erzeugen n-te Einheitswurzeln zyklotomische Körper, zentrale Objekte der modernen Algebra.
Ein verbreiteter Irrtum ist, dass eine komplexe Zahl nur eine Wurzel habe oder dass die Quadratwurzel von −1 nur i sei. Tatsächlich hat −1 zwei Quadratwurzeln — i und −i — und 1 hat für jede positive ganze Zahl n genau n verschiedene n-te Wurzeln. Der Rechner zeigt sie alle in der Form a_k + b_k·i an, auf eine feste Anzahl von Dezimalstellen gerundet, damit du numerische Muster wie die Symmetrie von Konjugierten erkennen kannst. Bei reellen Eingaben mit geradem Wurzelgrad treten die Wurzeln als konjugiert-komplexe Paare auf; bei ungeradem n und einer Eingabe auf der negativen reellen Achse ist genau eine Wurzel selbst reell und negativ.
Verwende diesen Rechner für komplexe Wurzeln immer dann, wenn du z^n = w für ein beliebiges komplexes w lösen, Polynome über den komplexen Zahlen faktorisieren, Einheitswurzeln untersuchen oder Übungsaufgaben aus der komplexen Analysis oder Ingenieurmathematik prüfen möchtest.
Rechenbeispiele
Probiere ein paar klassische Eingaben aus, um zu sehen, wie sich die n Wurzeln in der komplexen Ebene verteilen.
| Eingabe (z, n) | Wurzeln | Hinweise |
|---|---|---|
| z = 8 + 0i, n = 3 | 2, −1 + 1.7320508i, −1 − 1.7320508i | Klassische Kubikwurzeln von 8. Eine reelle Wurzel und ein konjugiert-komplexes Paar, gleichmäßig um 120° auf einem Kreis mit Radius 2 verteilt. |
| z = 0 + 1i, n = 2 | 0.7071068 + 0.7071068i, −0.7071068 − 0.7071068i | Die beiden Quadratwurzeln von i. Sie liegen auf dem Einheitskreis bei 45° und 225° und unterscheiden sich genau um 180°. |
| z = −16 + 0i, n = 4 | 1.4142136 + 1.4142136i, −1.4142136 + 1.4142136i, −1.4142136 − 1.4142136i, 1.4142136 − 1.4142136i | Vierte Wurzeln von −16. Alle vier Wurzeln liegen auf einem Kreis mit Radius 16^(1/4) = 2, gleichmäßig um 90° versetzt, mit der Hauptwurzel bei einem Argument von 45°. |
| z = 1 + 1i, n = 3 | 1.0842150 + 0.2905145i, −0.7937005 + 0.7937005i, −0.2905145 − 1.0842150i | Kubikwurzeln von 1 + i. Der Betrag ist √2 und das Argument 45°, also hat die Hauptwurzel ein Argument von 15°. |
So verwendest du den Rechner für komplexe Wurzeln
- Gib im ersten Feld den Realteil a deiner komplexen Zahl z = a + bi ein.
- Gib im zweiten Feld den Imaginärteil b ein. Verwende 0, wenn die Zahl rein reell ist.
- Gib den Wurzelgrad n als positive ganze Zahl zwischen 1 und 20 ein.
- Klicke auf Wurzeln berechnen, um alle n verschiedenen Wurzeln in kartesischer Form a_k + b_k·i anzuzeigen.
- Klicke auf Zurücksetzen, um die Eingaben zu löschen und eine andere komplexe Zahl auszuprobieren.
FAQ zu komplexen Wurzeln
Was ist der Satz von De Moivre?
Der Satz von De Moivre besagt, dass für jedes reelle θ und jede ganze Zahl n gilt: (cosθ + i·sinθ)^n = cos(nθ) + i·sin(nθ). Durch Ziehen der n-ten Wurzel auf beiden Seiten erhält man die Standardformel für die n verschiedenen n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl in Polarform.
Wie viele n-te Wurzeln hat eine komplexe Zahl?
Jede nichtnull komplexe Zahl hat genau n verschiedene n-te Wurzeln. Null hat nur eine n-te Wurzel, nämlich 0 selbst. Die n Wurzeln sind auf einem Kreis mit Radius r^(1/n) um 2π/n Radiant voneinander entfernt.
Was ist die Hauptwurzel?
Die Hauptwurzel ist die Wurzel mit k = 0 in der Formel, also die mit dem kleinsten nichtnegativen Argument θ/n. Das ist der Wert, den die meisten eingebauten komplexen Potenzfunktionen von Programmiersprachen zurückgeben, und die konventionelle Wahl, wenn nur ein einzelnes Ergebnis benötigt wird.
Warum sind komplexe Wurzeln wichtig?
Sie treten überall in Wissenschaft und Technik auf — in der Wechselstromanalyse, Signalverarbeitung, Stabilität von Regelungssystemen, Quantenmechanik, Strömungsmechanik und bei der Lösung von Polynomgleichungen. Besonders die Einheitswurzeln sind zentral für die diskrete Fourier-Transformation.
Kann der Wurzelgrad negativ oder null sein?
Nein. Die n-te Wurzel ist nur für positive ganze Zahlen n definiert. Für n = 0 ist die Operation undefiniert, und negative Grade entsprächen Kehrwerten von Wurzeln, die du berechnen kannst, indem du zuerst die n-ten Wurzeln bestimmst und dann ihre Kehrwerte bildest.
Warum werden so viele Dezimalstellen angezeigt?
Die meisten n-ten Wurzeln komplexer Zahlen sind irrational, daher rundet der Rechner jede Komponente auf etwa acht Dezimalstellen, um Lesbarkeit und numerische Genauigkeit auszubalancieren. Für exakte symbolische Ergebnisse verwende ein Computeralgebrasystem.