Kegelschnitte-Rechner - Kegelschnitte aus der allgemeinen Form bestimmen
Bestimme und klassifiziere einen Kegelschnitt direkt aus der allgemeinen quadratischen Gleichung Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 mithilfe der Diskriminante B² − 4AC.
Gib die sechs Koeffizienten A, B, C, D, E und F ein. Der Rechner zeigt die Diskriminante, den Kegelschnitt-Typ (Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel) und eine kurze Erklärung an.
Kegelschnitte-Rechner - Kegelschnitte aus der allgemeinen Form bestimmen
Bestimme und klassifiziere einen Kegelschnitt direkt aus der allgemeinen quadratischen Gleichung Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 mithilfe der Diskriminante B² − 4AC.
Über den Kegelschnitte-Rechner
Ein Kegelschnitt ist die Schnittkurve einer Ebene mit einem Doppelkegel. Je nach Schnittwinkel erhält man einen Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Jeder Kegelschnitt in der Ebene kann algebraisch durch eine allgemeine quadratische Gleichung Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 beschrieben werden, und der Typ des Kegelschnitts wird durch das Vorzeichen der Diskriminante Δ = B² − 4AC bestimmt.
Die Klassifikationsregel ist bemerkenswert klar. Wenn Δ < 0 ist, ist der Kegelschnitt eine Ellipse; der Sonderfall A = C und B = 0 ergibt einen Kreis. Wenn Δ = 0 ist, ist der Kegelschnitt eine Parabel. Wenn Δ > 0 ist, ist der Kegelschnitt eine Hyperbel. Es gibt auch degenerierte Fälle — einen einzelnen Punkt, die leere Menge, eine einzelne Gerade, zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden — die entstehen, wenn sich die Gleichung auf bestimmte Weise faktorisieren lässt. Für nicht degenerierte Eingaben genügt jedoch die Diskriminante allein, um die Kurve zu identifizieren.
Warum ist das nützlich? Kegelschnitte treten überall in Wissenschaft und Technik auf. Planetenbahnen sind Ellipsen (Keplers erstes Gesetz). Die Flugbahn eines geworfenen Balls ist, wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt, eine Parabel. Die Bahnen von Objekten, die einem Gravitationsfeld entkommen, sind Hyperbeln. Satellitenschüsseln, Autoscheinwerfer und Radioteleskope nutzen alle die Reflexionseigenschaften parabolischer Spiegel. Flüstergewölbe und Lithotripsie-Geräte verwenden die Brennpunkteigenschaften von Ellipsen. Die Kühltürme von Kernkraftwerken sind Hyperboloide. Sogar der Entwurf von Brücken und Bögen stützt sich auf Parabel- und Kettenlinienkurven, die Kegelschnitte sehr genau annähern.
Der Rechner ist auch ein nützliches Unterrichtswerkzeug. Schülerinnen und Schüler sehen Kegelschnitte oft in Standardform — etwa (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1 für eine Ellipse —, aber reale Aufgaben geben die Gleichung meist bereits in der unübersichtlichen allgemeinen Form an. Durch direkte Eingabe der Koeffizienten kannst du den Kegelschnitt-Typ mit einem Klick bestimmen, ohne zuerst quadratisch zu ergänzen. Nach der Klassifikation kannst du Angaben zu Brennpunkt, Leitlinie und Achse aus einem Lehrbuch nutzen, um die Kurve zu skizzieren oder in die Standardform umzuwandeln.
Ein paar Einschränkungen. Der Diskriminantentest klassifiziert nur nicht degenerierte Kegelschnitte. Wenn A = B = C = 0 gilt, ist die Gleichung linear und überhaupt kein Kegelschnitt; der Rechner erkennt diesen Fall ausdrücklich. Für eine exakte Kreiserkennung muss B = 0 und A = C gelten. Und wenn B ungleich null ist, sind die Hauptachsen des Kegelschnitts gegenüber der x- und y-Achse gedreht; der Typ wird weiterhin durch die Diskriminante bestimmt, aber die Orientierung erfordert die Diagonalisierung der quadratischen Form.
Ausgerechnete Beispiele
Einige Eingaben, die alle vier Kegelschnitt-Typen abdecken.
| Koeffizienten (A, B, C, D, E, F) | Kegelschnitt-Typ | Diskriminante und Hinweise |
|---|---|---|
| (1, 0, 1, 0, 0, −9) | Kreis | Δ = 0 − 4·1·1 = −4 < 0 und A = C, B = 0. Die Gleichung x² + y² = 9 ist ein Kreis mit Radius 3. |
| (4, 0, 9, 0, 0, −36) | Ellipse | Δ = 0 − 4·4·9 = −144 < 0. Gleichung 4x² + 9y² = 36, also x²/9 + y²/4 = 1. |
| (1, 0, 0, 0, −4, 0) | Parabel | Δ = 0 − 4·1·0 = 0. Die Gleichung x² = 4y ist eine vertikale Parabel, die sich nach oben öffnet. |
| (1, 0, −1, 0, 0, −1) | Hyperbel | Δ = 0 − 4·1·(−1) = 4 > 0. Die Gleichung x² − y² = 1 ist eine standardmäßige rechtwinklige Hyperbel. |
| (0, 0, 0, 2, −3, 5) | Lineare Gleichung (kein Kegelschnitt) | Alle drei quadratischen Koeffizienten sind null, daher reduziert sich die Gleichung auf die Gerade 2x − 3y + 5 = 0. |
So verwendest du den Kegelschnitte-Rechner
- Bringe deine Gleichung in die allgemeine Form Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0, sodass die rechte Seite null ist.
- Gib jeden der sechs Koeffizienten in das passende Feld ein. Verwende 0 für fehlende Terme.
- Klicke auf Kegelschnitt bestimmen. Der Rechner zeigt Diskriminante, Kegelschnitt-Typ und eine kurze Erklärung an.
- Nutze die Laden-Schaltflächen, um das Formular mit kanonischen Beispielen für jeden Kegelschnitt-Typ zu füllen.
- Klicke auf Rechner zurücksetzen, um alle sechs Koeffizienten zu löschen und neu zu beginnen.
FAQ zu Kegelschnitten
Welche vier Arten von Kegelschnitten gibt es?
Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln. Sie entstehen als Schnitt einer Ebene mit einem Doppelkegel bei zunehmend flacheren Winkeln; der Kreis ist der Sonderfall eines horizontalen Schnitts, und die Parabel ist der Grenzfall parallel zur Mantellinie des Kegels.
Wie klassifiziert die Diskriminante einen Kegelschnitt?
Für die allgemeine Gleichung Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 lautet die Diskriminante Δ = B² − 4AC. Wenn Δ < 0 ist, ist der Kegelschnitt eine Ellipse (oder ein Kreis, wenn A = C und B = 0); wenn Δ = 0 ist, ist er eine Parabel; und wenn Δ > 0 ist, ist er eine Hyperbel.
Was ist ein degenerierter Kegelschnitt?
Ein degenerierter Kegelschnitt ist der Grenzfall, in dem die Gleichung in etwas Einfacheres faktorisiert: einen einzelnen Punkt, die leere Menge, eine einzelne Gerade, zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden. Der Diskriminantentest klassifiziert weiterhin den zugrunde liegenden Typ, unterscheidet aber nicht zwischen degeneriert und nicht degeneriert.
Warum ist ein Kreis ein Sonderfall einer Ellipse?
Ein Kreis ist eine Ellipse mit gleicher großer und kleiner Halbachse. In der allgemeinen Gleichung geschieht das genau dann, wenn A = C und B = 0 gilt; dann sind beide Eigenwerte der quadratischen Form gleich.
Was bedeutet ein Koeffizient B ungleich null geometrisch?
Ein von null verschiedener Koeffizient beim xy-Term bedeutet, dass die Hauptachsen des Kegelschnitts gegenüber den Koordinatenachsen gedreht sind. Der Kegelschnitt-Typ wird weiterhin durch das Vorzeichen von B² − 4AC bestimmt, aber um die Gleichung in Standardform zu schreiben, müssen zuerst die Achsen gedreht werden, um den xy-Term zu eliminieren.
Kann die Gleichung etwas darstellen, das kein Kegelschnitt ist?
Ja. Wenn A, B und C alle null sind, ist die Gleichung linear und stellt eine Gerade oder die leere Menge statt eines Kegelschnitts dar. Der Rechner erkennt diesen Fall und meldet ihn ausdrücklich.