Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsrechner

Das Gram-Schmidt-Verfahren ist einer der wichtigsten Algorithmen der linearen Algebra. Aus einer Menge linear unabhängiger Vektoren erzeugt es systematisch eine neue Menge von Vektoren, die paarweise orthogonal sind und denselben Unterraum aufspannen. Werden diese orthogonalen Vektoren zusätzlich durch ihre eigene Länge geteilt, sodass Einheitsvektoren entstehen, spricht man von einer orthonormalen Basis. Orthonormale Basen gelten in der linearen Algebra als Goldstandard, weil sie fast jede Rechnung mit Projektionen, Rotationen, Spiegelungen und Zerlegungen vereinfachen. Der Algorithmus arbeitet induktiv. Der erste Ausgabvektor ist einfach der erste Eingabevektor, unverändert. Der zweite Ausgabvektor ist der zweite Eingabevektor minus seiner Projektion auf den ersten Ausgabvektor — dadurch steht der zweite senkrecht auf dem ersten. Der dritte Ausgabvektor ist der dritte Eingabevektor mit den Projektionen auf die ersten beiden Ausgabvektoren entfernt. Allgemein ist der k-te Ausgabvektor der k-te Eingabevektor minus der Summe seiner Projektionen auf alle vorherigen Ausgabvektoren. Die Formel für die Projektion von v auf einen bereits orthogonalisierten Vektor u lautet (v·u / u·u) × u, wobei · das Skalarprodukt bezeichnet. Wenn während dieses Prozesses nach dem Abziehen aller Projektionen der Nullvektor entsteht, war der Eingabevektor linear abhängig von den vorherigen und wird einfach verworfen. Der Rechner behandelt das automatisch und gibt den Rang der Eingabemenge aus, also die Anzahl der wirklich unabhängigen Vektoren. In der Praxis wird eine kleine numerische Schwelle verwendet, um Vektoren zu erkennen, die aufgrund von Gleitkomma-Rundung nahezu null sind. Die orthonormale Basis erhält man, indem man jeden orthogonalen Ausgabvektor durch seine euklidische Norm teilt (die Wurzel aus seinem Skalarprodukt mit sich selbst). Das Ergebnis ist eine Menge von Einheitsvektoren, jeder mit genau Länge 1, die in paarweise senkrechte Richtungen zeigen. Diese orthonormale Menge bildet das, was man einen orthonormalen Rahmen für den von den ursprünglichen Eingaben aufgespannten Unterraum nennt. Anwendungen des Gram-Schmidt-Verfahrens reichen durch praktisch alle quantitativen Bereiche. In der numerischen linearen Algebra liegt es der QR-Zerlegung zugrunde, die zur Lösung von Least-Squares-Problemen und zur Berechnung von Eigenwerten verwendet wird. In der Signalverarbeitung dient es zum Aufbau orthogonaler Filterbänke und zur Trennung unabhängiger Signalanteile. In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Quantensystems ein Hilbertraum, und physikalische Observablen entsprechen orthonormalen Basen von Eigenvektoren. In Statistik und Machine Learning kann die Hauptkomponentenanalyse (PCA) als das Finden einer orthonormalen Basis verstanden werden, die an den Richtungen maximaler Varianz in einem Datensatz ausgerichtet ist. In der Computergrafik erfordert der Aufbau eines Kamera- oder Objektkoordinatensystems drei paarweise senkrechte Einheitsvektoren — eine Aufgabe, die sich mit Gram-Schmidt natürlich lösen lässt. Dieser Rechner akzeptiert Vektoren beliebiger Dimension, behandelt linear abhängige Eingaben elegant und zeigt sowohl die zwischengeschalteten orthogonalen Vektoren als auch die endgültigen orthonormalen Vektoren nebeneinander an, damit du jeden Schritt der Transformation sehen kannst.