Fünfeck-Rechner - Fläche, Umfang und Apothem

Ein regelmäßiges Fünfeck ist ein konvexes Polygon mit fünf gleich langen Seiten und fünf gleich großen Innenwinkeln. Jeder Innenwinkel misst 108°, die Summe aller Innenwinkel beträgt 540°, und die Form besitzt fünf Spiegelachsen sowie eine Rotationssymmetrie der Ordnung 5. Regelmäßige Fünfecke kommen überall in der Natur vor: der Querschnitt von Okra, die Anordnung der Blütenblätter vieler Blumen und die Symmetrie von Seesternarmen zeigen pentagonale Geometrie. Auch in Kunst und Architektur erscheinen sie, vom Pentagon-Gebäude in Washington, D.C., bis zu dekorativen Fliesen und Paneelen geodätischer Kuppeln. Alle Eigenschaften eines regelmäßigen Fünfecks lassen sich aus seiner Seitenlänge s ableiten. Der Umfang ist einfach P = 5s. Das Apothem a, also der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt einer beliebigen Seite, beträgt s / (2 × tan(π/5)), wobei tan(π/5) ≈ 0.7265 ist. Die Fläche lässt sich über die Seitenlänge als A = (5s²) / (4 × tan(π/5)) schreiben oder mithilfe des Apothems äquivalent als A = (5/2) × s × a. Die Diagonale d (der Abstand zwischen zwei nicht benachbarten Eckpunkten) ist d = s × φ, wobei φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180 der Goldene Schnitt ist — eine schöne Verbindung, die das regelmäßige Fünfeck eng mit der berühmtesten irrationalen Zahl der Mathematik verknüpft. Da die wichtigsten Eigenschaften (Seite, Umfang, Fläche, Apothem und Diagonale) durch diese Formeln miteinander verbunden sind, reicht eine einzige bekannte Größe aus, um alle anderen zu bestimmen. Die Umkehrbeziehungen sind ebenso direkt: Ist die Fläche A gegeben, erhält man die Seite durch s = √(4A × tan(π/5) / 5); ist das Apothem a gegeben, ist die Seite s = 2a × tan(π/5); ist der Umfang P gegeben, ist die Seite s = P/5; ist die Diagonale d gegeben, ist die Seite s = d/φ. Der Goldene Schnitt φ, der in die Geometrie des Fünfecks eingewoben ist, fasziniert Mathematiker und Künstler seit Jahrtausenden. Das Verhältnis der Diagonale zur Seite eines regelmäßigen Fünfecks ist exakt φ, und die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks schneiden einander im Goldenen Schnitt. Die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal — eine klassische euklidische Konstruktion — beruht darauf, zuerst den Goldenen Schnitt zu konstruieren. Diese Eigenschaften machten das Pentagramm (den fünfzackigen Stern, der durch Verbinden jedes zweiten Eckpunkts entsteht) in der antiken griechischen und der Renaissance-Tradition zu einem Symbol für Schönheit und Harmonie. Ob du einen fünfeckigen Raum entwirfst, einen Boden fliesen möchtest, die Grundfläche eines fünfeckigen Gebäudes berechnest, ein fünfseitiges Materialstück zuschneidest oder den Goldenen Schnitt in mathematischer Kunst erkundest: Dieser Rechner lässt dich mit der Messgröße beginnen, die du hast, und liefert sofort alle anderen Eigenschaften des Fünfecks in der gewünschten Genauigkeit.