Rechner für endliche Dezimalzahlen

Eine endliche Dezimalzahl ist eine Dezimalzahl, die nach dem Dezimaltrennzeichen eine endliche, fest bestimmte Anzahl von Ziffern hat. Beispiele sind 0.5, 0.75, 0.125 und 3.25. Im Gegensatz dazu läuft eine periodische Dezimalzahl wie 0.333… oder 0.142857142857… unendlich weiter. Beide Arten sind rationale Zahlen - sie können jeweils als Bruch ausgedrückt werden -, aber nur endliche Dezimalzahlen passen exakt in eine endliche Dezimaldarstellung. Die Regel, die bestimmt, welche Brüche enden, ist elegant einfach und folgt direkt aus der Basis-10-Struktur unseres Zahlensystems. Jede Dezimalzahl kann als Bruch mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, …) im Nenner betrachtet werden. Ein Bruch p/q endet genau dann, wenn der Nenner q nach dem Kürzen auf vollständig gekürzte Form keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat. Das liegt daran, dass die einzigen Primfaktoren jeder Potenz von 10 die Zahlen 2 und 5 sind, und ein Bruch genau dann in einen gleichwertigen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner umgewandelt werden kann, wenn sein Nenner nur diese beiden Primzahlen enthält. Der Algorithmus dieses Rechners besteht aus drei Schritten. Zuerst berechnet er den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilt beide dadurch, um den Bruch vollständig zu kürzen. Zweitens ermittelt er die Primfaktorzerlegung des gekürzten Nenners. Drittens prüft er, ob jeder Primfaktor entweder 2 oder 5 ist. Wenn ja, endet der Bruch als Dezimalzahl; wenn eine andere Primzahl (3, 7, 11, 13, …) vorkommt, ist sie periodisch. Zur Veranschaulichung: Der Bruch 7/20 hat den Nenner 20 = 2² × 5. Da die einzigen Primfaktoren 2 und 5 sind, ist 7/20 eine endliche Dezimalzahl. Sein Dezimalwert ist 0.35, weil 7/20 = 35/100. Dagegen hat 1/6 den Nenner 6 = 2 × 3. Der Faktor 3 bedeutet, dass 1/6 nicht über einer Zehnerpotenz ausgedrückt werden kann, daher ist die Dezimaldarstellung periodisch: 0.1666… Eine wichtige Feinheit ist die Rolle des Kürzens. Der Bruch 6/30 wirkt zum Beispiel kompliziert, aber durch Kürzen mit dem ggT 6 erhält man 1/5, dessen Nenner nur 5 ist - eine endliche Dezimalzahl. Ebenso wird 2/12 zu 1/6 gekürzt, was periodisch ist. Deshalb reduziert der Rechner den Bruch immer zuerst, bevor er die Primfaktoren des Nenners untersucht. Die Größe des Nenners ist unerheblich dafür, ob die Dezimalzahl endet. Der Bruch 1/1024 endet, weil 1024 = 2¹⁰ ist, obwohl 1024 recht groß ist. Hingegen ist 1/3 periodisch, weil 3 eine Primzahl ist, die weder 2 noch 5 ist, obwohl 3 sehr klein ist. Entscheidend ist die Art der Primfaktoren, nicht ihre Größe.