e Rechner

Die Eulersche Zahl e ist eine der wichtigsten mathematischen Konstanten. Ihr Wert beträgt ungefähr 2.71828182845904523536..., und wie π ist sie irrational und transzendent: Sie kann weder als Bruch noch als Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden. Jakob Bernoulli untersuchte sie 1683 im Zusammenhang mit Zinseszinsen; Leonhard Euler gab ihr das Symbol e und etablierte ihre grundlegenden Eigenschaften. e ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion: die eindeutige reelle Zahl, für die f(x) = e^x gleich ihrer eigenen Ableitung ist. Daher ist e^x zentral in der Analysis. Außerdem gilt e = lim(n→∞)(1 + 1/n)^n, ein Grenzwert aus stetiger Verzinsung: Bei 100% Jahreszins mit unendlich häufiger Verzinsung wächst 1 Dollar in einem Jahr auf e Dollar. Eine äquivalente Definition ist die Reihe e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ..., wobei n! die Fakultät bezeichnet. Sie konvergiert schnell; die ersten 13 Terme liefern 10 Dezimalstellen. Der Rechner kann Partialsummen der Taylorreihe e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... anzeigen, die für alle reellen x konvergiert. Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x. Wenn e^y = x gilt, dann ist ln(x) = y. Er erfüllt ln(xy) = ln(x) + ln(y), ln(x/y) = ln(x) − ln(y) und ln(x^n) = n ln(x), wodurch Multiplikation, Division und Potenzen in einfachere Operationen überführt werden. Vor elektronischen Computern waren Logarithmen deshalb für wissenschaftliche Rechnungen unverzichtbar. e und ln(x) treten in Wissenschaft, Technik, Wirtschaft und Statistik auf. Radioaktiver Zerfall folgt N(t) = N₀ e^(−λt), ideales Bevölkerungswachstum P(t) = P₀ e^(rt), stetige Verzinsung A = Pe^(rt). Der natürliche Logarithmus erscheint in der Shannon-Entropie, die Normalverteilung enthält e^(−x²/2).