Dreieck-Winkelrechner
Finde fehlende Dreieckswinkel aus zwei bekannten Winkeln oder drei Seiten mit den AA- und SSS-Methoden.
Wähle eine Berechnungsmethode, gib die erforderlichen Werte ein und erhalte sofort alle drei Winkel. Alle Ergebnisse sind in Grad.
Dreieck-Winkelrechner
Finde fehlende Dreieckswinkel aus zwei bekannten Winkeln oder drei Seiten mit den AA- und SSS-Methoden.
Gib zwei beliebige Winkel ein, um den dritten zu finden. Verwendet die Regel, dass die drei Winkel eines Dreiecks zusammen 180° ergeben.
Über den Dreieck-Winkelrechner
Jedes Dreieck hat drei Innenwinkel, die immer genau 180 Grad ergeben. Dieser grundlegende Satz der euklidischen Geometrie bildet die Grundlage für die beiden in diesem Rechner verfügbaren Methoden: die Zwei-Winkel-Methode (AA) und die Drei-Seiten-Methode (SSS).
Die AA-Methode ist die einfachste: Wenn du zwei Winkel eines Dreiecks kennst, erhältst du den dritten, indem du ihre Summe von 180° abziehst. Wenn Winkel A also 30° und Winkel B 60° beträgt, dann ist Winkel C = 180° − 30° − 60° = 90°. Diese Methode wird häufig in geometrischen Beweisen, architektonischen Zeichnungen und in der Navigation verwendet — immer dann, wenn zwei Winkel direkt gemessen wurden und der dritte bestätigt oder berechnet werden soll.
Die SSS-Methode verwendet den Kosinussatz, eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras, die für jedes Dreieck gilt. Sind die Seiten a, b und c den Winkeln A, B und C gegenüberliegend, lautet die Formel: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc). Umgestellt ergibt sich A = arccos((b² + c² − a²) / (2bc)). Sobald Winkel A bestimmt ist, gilt B = arccos((a² + c² − b²) / (2ac)), und C = 180° − A − B. Diese Methode wird in der Vermessung, Navigation, Strukturanalyse und überall dort verwendet, wo Winkel nicht direkt messbar sind, aber alle drei Seitenlängen ermittelt werden können.
Für ein gültiges Dreieck muss Folgendes gelten: Jede Seite muss positiv sein, die Summe zweier beliebiger Seiten muss größer als die dritte Seite sein (Dreiecksungleichung), und jeder Winkel muss positiv sein, wobei alle drei zusammen 180° ergeben müssen. Verstoßen die SSS-Eingaben gegen die Dreiecksungleichung, liegt das arccos-Argument außerhalb von [−1, 1] und das Ergebnis ist undefiniert — der Rechner zeigt in diesem Fall einen Fehler an.
Besondere Fälle: Ein gleichseitiges Dreieck (alle Seiten gleich) hat drei Winkel zu je 60°. Ein gleichschenkliges Dreieck (zwei gleiche Seiten) hat zwei gleiche Basiswinkel, die sich mit SSS aus den drei Seiten bestimmen lassen. Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-Winkel, den der Rechner korrekt anzeigt, wenn die Seiten a² + b² = c² erfüllen.
Alle Ergebnisse werden in Grad angezeigt. Wenn du Ergebnisse in Bogenmaß brauchst, multipliziere jeden Gradwert mit π / 180. Der Rechner verwendet standardmäßige Gleitkommaarithmetik mit doppelter Genauigkeit und liefert für alle gültigen Eingaben Ergebnisse mit mindestens zehn signifikanten Stellen Genauigkeit.
Beispiele für den Dreieck-Winkelrechner
Vier Beispiele, die beide Berechnungsmethoden mit klassischen Dreieckstypen zeigen.
| Bekannte Werte | Ergebnis | Erklärung |
|---|---|---|
| AA: Winkel A = 30°, Winkel B = 60° | C = 90° | C = 180° − 30° − 60° = 90°. Das ist ein 30-60-90-Rechtwinkeldreieck, eine grundlegende Form in Geometrie und Trigonometrie. |
| AA: Winkel A = 50°, Winkel B = 50° | C = 80° | C = 180° − 50° − 50° = 80°. Ein gleichschenkliges Dreieck mit gleichen Basiswinkeln von 50° und einem Spitzenwinkel von 80°. |
| SSS: a = 10, b = 10, c = 10 | A = B = C = 60° | Alle drei Seiten sind gleich, also ist dies ein gleichseitiges Dreieck. Wegen der Symmetrie sind alle Winkel 60°. |
| SSS: a = 3, b = 4, c = 5 | A ≈ 36.87°, B ≈ 53.13°, C = 90° | Das klassische 3-4-5-Rechtwinkeldreieck. cos(C) = (9 + 16 − 25) / 24 = 0, also ist C = 90°. Die anderen Winkel folgen aus dem Kosinussatz. |
So verwendest du den Dreieck-Winkelrechner
- Wähle eine Methode: Zwei bekannte Winkel (AA), wenn du zwei Winkel kennst, oder Drei bekannte Seiten (SSS), wenn du alle Seitenlängen kennst.
- Gib die erforderlichen Werte in die Eingabefelder ein. Bei AA Winkel A und Winkel B in Grad. Bei SSS die Längen der Seiten a, b und c.
- Klicke auf Winkel berechnen. Alle drei Winkel erscheinen sofort in Grad.
- Prüfe das Ergebnis: Die drei Winkel sollten sich bei einem gültigen Dreieck genau zu 180° summieren.
- Klicke auf Zurücksetzen, um alle Felder zu leeren und eine neue Berechnung zu starten.
FAQ zum Dreieck-Winkelrechner
Wie finde ich den dritten Winkel eines Dreiecks, wenn ich zwei Winkel kenne?
Ziehe die Summe der beiden bekannten Winkel von 180° ab. Wenn zum Beispiel Winkel A = 45° und Winkel B = 75° ist, dann gilt Winkel C = 180° − 45° − 75° = 60°. Das funktioniert, weil die Innenwinkel eines Dreiecks in der euklidischen Geometrie immer genau 180° ergeben.
Was ist der Kosinussatz und wann verwende ich ihn?
Der Kosinussatz lautet cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc), wobei a, b, c Seitenlängen und A der gegenüberliegende Winkel zur Seite a ist. Verwende ihn, wenn du alle drei Seiten kennst (SSS), aber keine Winkel. Er verallgemeinert den Satz des Pythagoras: Wenn A = 90° ist, reduziert sich die Formel auf a² = b² + c², also den Satz des Pythagoras.
Warum zeigt der Rechner bei manchen Seitenlängen einen Fehler an?
Nicht jede Menge von drei positiven Zahlen kann ein Dreieck bilden. Die Dreiecksungleichung verlangt, dass die Summe zweier beliebiger Seiten strikt größer als die dritte Seite ist. Zum Beispiel können 1, 2 und 10 kein Dreieck bilden, weil 1 + 2 < 10 ist. Bei ungültigen Seitenlängen zeigt der Rechner einen Fehler statt eines bedeutungslosen Ergebnisses an.
Kann dieser Rechner stumpfwinklige Dreiecke behandeln?
Ja. Ein stumpfwinkliges Dreieck hat einen Winkel größer als 90°. Der Kosinussatz behandelt stumpfwinklige Dreiecke korrekt, weil arccos Werte im Bereich [0°, 180°] zurückgibt, also alle möglichen Innenwinkel abdeckt. Auch die Zwei-Winkel-Methode funktioniert: Stelle nur sicher, dass beide Eingabewinkel positiv sind und ihre Summe kleiner als 180° ist.
Was ist ein 3-4-5-Dreieck?
Ein 3-4-5-Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten im Verhältnis 3:4:5 und erfüllt 3² + 4² = 5². Seine Winkel betragen ungefähr 36.87°, 53.13° und 90°. Es ist das einfachste pythagoreische Tripel und wird im Bauwesen häufig verwendet, um rechte Winkel zu prüfen — ein darauf basierendes Zimmermannswinkelmaß heißt Speed Square.
Sind die Ergebnisse in Grad oder Bogenmaß?
Alle Ergebnisse werden in Grad angezeigt. Wenn du Bogenmaß brauchst, multipliziere jeden Gradwert mit π/180 (etwa 0.01745). Zum Beispiel entspricht 90° 90 × π/180 = π/2 Radiant. Der Rechner verwendet intern gradbasiertes arccos, indem er das Rohresultat von Math.acos im Bogenmaß in Grad umrechnet und mit 180/π multipliziert.