Doppelwinkel-Formelrechner
Berechnen Sie sin(2x), cos(2x) und tan(2x) mit den Doppelwinkel-Identitäten — geben Sie einen Winkel in Grad oder Radiant ein und erhalten Sie sofortige Ergebnisse.
Geben Sie einen Winkel ein, wählen Sie die Einheit und entscheiden Sie, welche Doppelwinkel-Formeln angezeigt werden sollen.
Doppelwinkel-Formelrechner
Berechnen Sie sin(2x), cos(2x) und tan(2x) mit den Doppelwinkel-Identitäten — geben Sie einen Winkel in Grad oder Radiant ein und erhalten Sie sofortige Ergebnisse.
Über den Doppelwinkel-Formelrechner
Doppelwinkel-Formeln sind trigonometrische Identitäten, die sin(2x), cos(2x) und tan(2x) in Abhängigkeit von sin(x) und cos(x) ausdrücken. Sie gehören zu den am häufigsten verwendeten Identitäten in Trigonometrie, Analysis, Physik und Ingenieurwesen, weil sie das Argument einer trigonometrischen Funktion halbieren.
Die drei grundlegenden Doppelwinkel-Identitäten lauten: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x); cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), was auch als 2cos²(x) − 1 oder 1 − 2sin²(x) geschrieben werden kann; und tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)). Tan(2x) ist genau dann nicht definiert, wenn cos(2x) = 0 ist, also bei 2x = 90°, 270° usw.
Die Sinus-Doppelwinkel-Formel sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) folgt direkt aus der Additionsformel sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), wenn man a = b = x setzt. Wendet man dasselbe auf cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) an, erhält man cos(2x) = cos²(x) − sin²(x). Mit der pythagoreischen Identität sin²(x) + cos²(x) = 1 kann man sin²(x) = 1 − cos²(x) einsetzen und so cos(2x) = 2cos²(x) − 1 erhalten; alternativ liefert cos²(x) = 1 − sin²(x) die Form cos(2x) = 1 − 2sin²(x). Alle drei Formen der Kosinus-Doppelwinkel-Formel sind äquivalent und je nach Kontext nützlich.
In der Analysis sind Doppelwinkel-Formeln unverzichtbar für Integrale von Produkten aus Sinus und Kosinus. Zum Beispiel lässt sich das Integral von sin(x)cos(x) durch die Erkennung des Integranden als (1/2)sin(2x) vereinfachen, was das Integrieren direkt macht. Ebenso werden Integrale von sin²(x) und cos²(x) mit den aus der Kosinus-Doppelwinkel-Formel abgeleiteten Halbwinkel-Formen behandelt.
In der Physik tauchen Doppelwinkel-Identitäten in der Wellenmechanik, Optik und Mechanik auf. Die Wurfweite R = (v²/g)sin(2θ) nutzt den Sinus-Doppelwinkel, um die maximale Reichweite als Funktion des Abwurfwinkels auszudrücken. Auch Interferenzmuster, harmonische Oszillatoren und rotierende Maschinen enthalten Kombinationen trigonometrischer Funktionen, bei denen Doppelwinkel-Identitäten die Analyse vereinfachen.
Dieser Rechner akzeptiert jeden Winkel in Grad oder Radiant. Intern wird der Eingabewert in Radiant umgerechnet, anschließend werden sin(x) und cos(x) berechnet und daraus sin(2x), cos(2x) und tan(2x) bestimmt. Wenn tan(2x) nicht definiert ist (also bei einem ungeraden Vielfachen von 90° für den Doppelwinkel), zeigt der Rechner ausdrücklich „Nicht definiert“ statt einer großen oder irreführenden Zahl an. Die Ergebnisse werden mit zehn signifikanten Stellen angezeigt, um die Genauigkeit zu wahren.
Beispiele für die Doppelwinkel-Formel
Gängige Referenzwinkel mit ihren exakten oder hochgenauen Doppelwinkelwerten.
| Winkel (x) | sin(2x) / cos(2x) / tan(2x) | Hinweise |
|---|---|---|
| x = 30° | sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732 | sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866. Ein häufiger Referenzwinkel mit exakten Werten. |
| x = 45° | sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = Nicht definiert | Die Verdopplung von 45° ergibt 90°. sin(90°) = 1, cos(90°) = 0. Der Tangens ist nicht definiert, da cos(90°) = 0 ist. |
| x = 60° | sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732 | Der Doppelwinkel 120° liegt im zweiten Quadranten: Der Sinus ist positiv, der Kosinus negativ und der Tangens negativ. |
| x = π/6 rad (≈ 0.5236) | sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732 | π/6 Radiant entspricht 30°. Das Ergebnis ist identisch mit dem ersten Beispiel und bestätigt die Einheitenumrechnung. |
So verwenden Sie den Doppelwinkel-Formelrechner
- Geben Sie den Winkelwert x in das Feld Winkel ein. Jede reelle Zahl ist zulässig — positiv, negativ oder null.
- Wählen Sie die Einheit: Grad für typische Winkel wie 30°, 45° und 60° oder Radiant für Werte wie π/6.
- Wählen Sie den Formeltyp: Alle Formeln zeigt sin(2x), cos(2x) und tan(2x); wenn Sie nur ein Ergebnis brauchen, können Sie auch nur eine einzelne Formel wählen.
- Klicken Sie auf Berechnen. Das Ergebnisfeld zeigt die berechneten Werte für die ausgewählten Formeln und markiert tan(2x) bei Bedarf als Nicht definiert.
- Klicken Sie auf Zurücksetzen, um die Eingaben zu löschen, oder ändern Sie Winkel und Einheit, um andere Werte zu erkunden.
FAQ zum Doppelwinkel-Formelrechner
Was ist die Doppelwinkel-Formel für den Sinus?
Die Doppelwinkel-Formel für den Sinus lautet sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Sie wird aus der Additionsformel sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) hergeleitet, indem man a und b gleich x setzt. Diese Identität wird in der Integration, Physik und Signalverarbeitung verwendet.
Warum gibt es drei Versionen der Kosinus-Doppelwinkel-Formel?
Alle drei Versionen — cos(2x) = cos²x − sin²x, cos(2x) = 2cos²x − 1 und cos(2x) = 1 − 2sin²x — sind äquivalent. Die erste folgt direkt aus der Kosinus-Additionsformel. Die anderen beiden entstehen durch Einsetzen der pythagoreischen Identität sin²x + cos²x = 1. Je nach Integrations- oder Vereinfachungskontext sind unterschiedliche Formen hilfreich.
Wann ist tan(2x) nicht definiert?
tan(2x) ist nicht definiert, wenn cos(2x) = 0 ist. Das tritt auf, wenn 2x = 90° + 180°k für eine ganze Zahl k gilt, also wenn x = 45° + 90°k ist. Bei diesen Winkeln führt die Formel tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) zu einer Division durch Null, und der Tangens selbst nähert sich ±∞.
Wie werden Doppelwinkel-Formeln in der Analysis verwendet?
Doppelwinkel-Formeln sind entscheidend für Integrale von Potenzen trigonometrischer Funktionen. Zum Beispiel gilt ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx, was sich leicht integrieren lässt. Ohne diese Identitäten wären solche Integrale deutlich komplizierter.
Können Doppelwinkel-Formeln auch auf negative Winkel angewendet werden?
Ja. Da sin und cos für alle reellen Zahlen definiert sind, funktionieren Doppelwinkel-Formeln auch für negative Winkel. Zum Beispiel gilt sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866. Der Rechner akzeptiert jede reelle Zahl als Winkelwert.
Wie hängen Doppelwinkel-Formeln und Halbwinkel-Formeln zusammen?
Halbwinkel-Formeln werden hergeleitet, indem man in den Doppelwinkel-Formeln x durch x/2 ersetzt. Aus cos(2x) = 1 − 2sin²x folgt zum Beispiel nach der Substitution x → x/2: cos(x) = 1 − 2sin²(x/2), woraus sich sin²(x/2) = (1 − cos x)/2 ergibt. Diese Halbwinkel-Formeln sind nützlich für trigonometrische Werte von Winkeln, die halb so groß sind wie bekannte Referenzwinkel.