Cholesky-Zerlegungsrechner - Faktorisierung positiv definiter Matrizen

Die Cholesky-Zerlegung ist eine der wichtigsten Matrixfaktorisierungen in der numerischen linearen Algebra. Für eine symmetrisch positiv definite Matrix A erzeugt die Zerlegung eine eindeutige untere Dreiecksmatrix L mit strikt positiven Diagonaleinträgen, sodass A = L·Lᵀ gilt. Der Algorithmus, der dem französischen Artillerieoffizier André-Louis Cholesky (1875–1918) zugeschrieben wird, wurde 1924 posthum veröffentlicht und ist seitdem zu einem Grundpfeiler des wissenschaftlichen Rechnens geworden. Der in diesem Rechner verwendete Cholesky-Banachiewicz-Algorithmus arbeitet spaltenweise. Für jeden Diagonaleintrag subtrahiert er die Summe der Quadrate aller vorherigen Einträge derselben Zeile vom entsprechenden Diagonaleintrag von A und zieht anschließend die Quadratwurzel. Für die Elemente unterhalb der Diagonale subtrahiert er ein Skalarprodukt der zuvor berechneten Einträge und teilt durch den aktuellen Diagonaleintrag. Die Rechenkosten betragen ungefähr n³/6 Multiplikationen für eine n×n-Matrix, wodurch er für symmetrisch positiv definite Eingaben etwa doppelt so effizient ist wie die allgemeine LU-Zerlegung. Die wichtigste Voraussetzung ist, dass die Matrix sowohl symmetrisch als auch positiv definit ist. Symmetrie bedeutet A[i][j] = A[j][i] für alle Paare (i, j). Positiv definit bedeutet xᵀAx > 0 für jeden von Null verschiedenen reellen Vektor x, was äquivalent dazu ist, dass alle Eigenwerte strikt positiv sind. Im Cholesky-Algorithmus zeigt sich das Fehlen der positiven Definitheit darin, dass die Quadratwurzel einer nicht positiven Zahl gezogen werden müsste, und genau das prüft dieser Rechner. In der Statistik sind Kovarianzmatrizen immer symmetrisch und positiv semidefinit. Wenn keine zwei Variablen perfekt kollinear sind, sind sie streng positiv definit, was eine direkte Anwendung der Cholesky-Zerlegung erlaubt. Die Zerlegung wird zur Erzeugung multivariater normaler Zufallsstichproben verwendet: Ist z ein Vektor unabhängiger Standardnormalvariablen, dann besitzt L·z die Kovarianzmatrix A. Diese Technik bildet die Grundlage für Monte-Carlo-Simulationen korrelierter Finanzanlagen, Klimamodell-Ensembles und Struktursicherheitsanalysen. Im Machine Learning verlassen sich die Gauß-Prozess-Regression und Bayes'sche neuronale Netze stark auf die Cholesky-Zerlegung, um Kernelmatrizen effizient zu invertieren oder ihre Log-Determinante zu berechnen. Die Log-Determinante von A ist das Doppelte der Summe der Logarithmen der Diagonaleinträge von L, wodurch die numerische Instabilität einer direkten Determinantenberechnung vermieden wird. Kalman-Filter-Implementierungen verwenden häufig den sogenannten Square-Root-Kalman-Filter, der statt der Kovarianz selbst den Cholesky-Faktor der Kovarianzmatrix fortschreibt und so die numerische Stabilität bei lang laufenden Schätzproblemen deutlich verbessert. Dieser Rechner unterstützt 2×2-, 3×3- und 4×4-Matrizen — die Größen, die am häufigsten in Übungsaufgaben, kleinen Problemen der numerischen Analyse und beim Prototyping numerischer Algorithmen vorkommen. Für größere Matrizen gilt derselbe Algorithmus und er lässt sich auf moderner Hardware effizient mit BLAS-Level-3-Operationen implementieren. Ganz gleich, ob Sie Hausaufgaben überprüfen, eine von Hand berechnete Zerlegung verifizieren oder die Eigenschaften positiv definiter Matrizen untersuchen, dieses Tool liefert sofort genaue Cholesky-Faktoren.