Binomialkoeffizient-Rechner
Berechne C(n, k), also die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n zu wählen, für Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit und das Pascalsche Dreieck.
Gib n (Gesamtzahl der Elemente) und k (auszuwählende Elemente) ein und klicke auf Berechnen, um den exakten Binomialkoeffizienten samt Formel zu erhalten.
Binomialkoeffizient-Rechner
Berechne C(n, k), also die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n zu wählen, für Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit und das Pascalsche Dreieck.
Über den Binomialkoeffizient-Rechner
Der Binomialkoeffizient C(n, k), auch „n über k“ oder ⁿCₖ geschrieben, ist die Anzahl der Möglichkeiten, genau k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Er gehört zu den grundlegenden Größen der Kombinatorik und erscheint in Wahrscheinlichkeitstheorie, Algebra, Statistik und Informatik.
Die Formel lautet C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). Das Ausrufezeichen bezeichnet die Fakultät: n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1; per Konvention gilt 0! = 1. Beispiel: C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10, also gibt es 10 Möglichkeiten, 2 Elemente aus 5 zu wählen.
Binomialkoeffizienten sind die Einträge des Pascalschen Dreiecks. Jeder Eintrag ist die Summe der beiden direkt darüberliegenden Einträge. In Zeile n und Spalte k, jeweils ab null gezählt, steht C(n, k). Dies folgt aus der Pascalschen Identität C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k): Ein Element wird entweder aufgenommen oder ausgeschlossen.
Der Name stammt vom binomischen Lehrsatz: (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k) für k von 0 bis n. Der Koeffizient jedes Terms xᵏ y^(n−k) ist C(n, k). So hat (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ die Koeffizienten 1, 3, 3, 1, also C(3,0) bis C(3,3).
In der Wahrscheinlichkeit treten Binomialkoeffizienten in der Binomialverteilung auf. Sie modelliert die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge ist C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k). Pokerhände, Lottoscheine, Ausschüsse oder Binärstrings mit fester Anzahl von Einsen lassen sich direkt so zählen.
Für große n und k kann die direkte Fakultätsberechnung zu Integer-Überläufen führen. Effiziente Algorithmen nutzen iterativ die multiplikative Formel C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1) für i von 0 bis k−1, wodurch Zwischenwerte kleiner bleiben. Dieser Rechner verwendet exakte Ganzzahlarithmetik für präzise Ergebnisse bei praktischen Eingaben.
Beispiele für Binomialkoeffizienten
Praxisnahe Situationen, in denen C(n, k) die Anzahl möglicher Ergebnisse angibt.
| C(n, k) | Ergebnis | Bedeutung in der Praxis |
|---|---|---|
| C(5, 2) | 10 | Anzahl der Möglichkeiten, 2 Elemente aus 5 zu wählen, z. B. Paare aus einer Gruppe von 5 Personen. |
| C(52, 5) | 2,598,960 | Anzahl möglicher 5-Karten-Pokerhände aus einem Standarddeck mit 52 Karten. |
| C(8, 3) | 56 | Zeile 8, Position 3 im Pascalschen Dreieck; außerdem die Anzahl der 3-elementigen Teilmengen einer 8-elementigen Menge. |
| C(12, 4) | 495 | Möglichkeiten, ein Team aus 4 von 12 Kandidaten zu wählen, wobei die Reihenfolge egal ist. |
So verwendest du den Binomialkoeffizient-Rechner
- Gib n ein, die Gesamtzahl der Elemente in der Menge. n muss eine nichtnegative ganze Zahl sein.
- Gib k ein, die Anzahl der zu wählenden Elemente. k muss zwischen 0 und n einschließlich liegen.
- Klicke auf „C(n, k) berechnen“. Das Ergebnis zeigt den exakten Binomialkoeffizienten und die ausgeschriebene Formel.
- Klicke auf Zurücksetzen, um beide Felder zu leeren und neue Werte einzugeben.
FAQ zum Binomialkoeffizienten
Was bedeutet C(n, k)?
C(n, k) ist die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n verschiedenen Elementen zu wählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Man nennt dies auch Binomialkoeffizient, „n über k“ oder Kombination. Beispiel: C(6, 2) = 15, weil sich aus 6 Elementen 15 verschiedene Paare bilden lassen.
Was ist der Unterschied zwischen Kombination und Permutation?
Bei einer Kombination zählt die Reihenfolge nicht: {A, B} ist dasselbe wie {B, A}. Die Anzahl ist C(n, k) = n! / (k! (n−k)!). Bei einer Permutation zählt die Reihenfolge: A dann B ist anders als B dann A. Die Anzahl ist P(n, k) = n! / (n−k)!, und P(n, k) = k! × C(n, k).
Warum gilt C(n, 0) = 1 und C(n, n) = 1?
C(n, 0) zählt die Möglichkeiten, 0 Elemente aus n zu wählen: Nichts zu tun ist genau eine Möglichkeit. C(n, n) zählt die Möglichkeiten, alle n Elemente zu wählen: Auch das geht genau einmal. Aus der Fakultätsformel folgt n!/(0! × n!) = 1 und n!/(n! × 0!) = 1.
Wie hängen Binomialkoeffizienten mit dem Pascalschen Dreieck zusammen?
Im Pascalschen Dreieck ist jeder Eintrag die Summe der beiden direkt darüber. Der Eintrag in Zeile n und Spalte k, ab 0 gezählt, ist C(n, k). Dies folgt aus C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k).
Was ist der binomische Lehrsatz?
Der binomische Lehrsatz besagt: (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) xᵏ y^(n−k), summiert für k von 0 bis n. Die Binomialkoeffizienten sind die Zahlenfaktoren vor den Termen; bei (x + y)⁴ sind 1, 4, 6, 4, 1 die Werte C(4,0) bis C(4,4).
Darf k größer als n sein?
Nein. Wenn k > n, kann man nicht mehr Elemente auswählen, als in der Menge vorhanden sind; daher ist C(n, k) für k > n als 0 definiert. Der Rechner zeigt in diesem Fall einen Fehler an.