Binärbruch-Umrechner

Binärbrüche erweitern binäre Ganzzahlen auf nicht ganzzahlige Größen, indem Stellenwerte verwendet werden, die negative Zweierpotenzen sind. So wie das Dezimalsystem den Positionen rechts vom Dezimalpunkt Zehntel (10⁻¹), Hundertstel (10⁻²), Tausendstel (10⁻³) und so weiter zuordnet, weist das Binärsystem denselben Positionen Hälften (2⁻¹ = 0.5), Viertel (2⁻² = 0.25), Achtel (2⁻³ = 0.125), Sechzehntel (2⁻⁴ = 0.0625) und so weiter zu. Jedes Bit rechts vom Binärpunkt steht für eine dieser absteigenden Zweierpotenzen. Die Umrechnung eines Binärbruchs in eine Dezimalzahl ist unkompliziert. Teile die Zahl am Binärpunkt. Wandle den ganzzahligen Teil mit der Standardmethode um: Das rechte Bit ist 2⁰, das nächste 2¹ und so weiter nach links. Beim Bruchteil wird das erste Bit nach dem Binärpunkt mit 2⁻¹ multipliziert, das nächste mit 2⁻² und jedes weitere Bit mit der jeweils nächsten negativen Potenz. Addiere alle Beiträge, um den exakten Dezimalwert zu erhalten. Zum Beispiel ist 101.101 im Binärsystem (1×4) + (0×2) + (1×1) + (1×0.5) + (0×0.25) + (1×0.125) = 5 + 0.5 + 0.125 = 5.625. Die Umrechnung eines Dezimalbruchs in eine Binärzahl erfordert zwei getrennte Verfahren. Der ganzzahlige Teil wird durch wiederholte Division durch 2 umgewandelt, wobei die Reste notiert werden. Der Bruchteil wird durch wiederholte Multiplikation mit 2 umgewandelt: Multipliziere den Bruch mit 2, notiere den ganzzahligen Teil des Ergebnisses (0 oder 1) als nächste Binärziffer und fahre mit dem verbleibenden Bruchteil fort. Wiederhole dies, bis der Bruch null wird oder die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Für 5.625: Ganzzahl 5 = 101₂; Bruch 0.625 × 2 = 1.25 → Bit 1; 0.25 × 2 = 0.5 → Bit 0; 0.5 × 2 = 1.0 → Bit 1; der Bruch wird null, daher ist das Ergebnis 101.101₂. Ein wichtiger Punkt ist, dass nicht alle Dezimalbrüche endliche Binärdarstellungen haben. So wie 1/3 nicht als abbrechende Dezimalzahl geschrieben werden kann, benötigen viele einfache Dezimalbrüche — darunter 0.1, 0.2 und 0.3 — unendlich viele Binärbits, um exakt dargestellt zu werden. Das ist die Hauptursache für Rundungsfehler bei Gleitkommazahlen in Computern. Die Genauigkeitseinstellung dieses Umrechners steuert, wie viele Nachkommabits berechnet werden. Eine höhere Genauigkeit liefert eine nähere Näherung, kann bei nicht abbrechenden Brüchen aber dennoch nie ein exaktes Ergebnis erzeugen. Binärbrüche werden in der Informatik überall verwendet. Der IEEE-754-Standard für Gleitkommaarithmetik codiert Zahlen mit einfacher und doppelter Genauigkeit als Binärbrüche mit einem impliziten führenden 1-Bit und einem biased Exponenten. Digitale Signalprozessoren stellen Audio- und Bilddaten als Festkomma-Binärbrüche dar, sogenannte Q-Format-Zahlen. Zu verstehen, wie Dezimalwerte auf Binärbrüche abgebildet werden, ist unverzichtbar für alle, die Low-Level-Code schreiben, mit eingebetteten Systemen arbeiten oder numerische Genauigkeitsprobleme in Software debuggen.