Rechner für arithmetische Folgen

Berechnen Sie die Summe jeder arithmetischen Folge mit Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder.

Geben Sie Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder ein, um die Summe der arithmetischen Folge sofort zu berechnen.

Rechner für arithmetische Folgen
Berechnen Sie die Summe jeder arithmetischen Folge mit Anfangsglied, Differenz und Anzahl der Glieder.

Über den Rechner für arithmetische Folgen

Eine lineare Zahlenfolge — auch arithmetische Folge oder arithmetische Progression genannt — ist eine Folge von Zahlen, bei der jedes Glied nach dem ersten entsteht, indem man zum vorherigen Glied eine feste Konstante addiert, die Differenz genannt wird. Ist das Anfangsglied a und die Differenz d, dann lautet die Folge: a, a+d, a+2d, a+3d und so weiter bis zum n-ten Glied. Das allgemeine Glied (das n-te Glied) einer arithmetischen Folge wird mit der Formel an = a + (n − 1)d berechnet. Damit lässt sich der Wert eines beliebigen Glieds bestimmen, ohne alle vorherigen Glieder auszurechnen. In der Folge 2, 5, 8, 11, 14 (Anfangsglied 2, Differenz 3) ist zum Beispiel das 10. Glied 2 + (10 − 1) × 3 = 29. Die Summe der ersten n Glieder, bezeichnet als Sn, berechnet man mit der Formel: Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d]. Diese elegante Formel lässt sich auch als Sn = n/2 × (Anfangsglied + letztes Glied) schreiben, was besonders nützlich ist, wenn das letzte Glied bekannt ist. Berühmt wurde die Formel, als Gauss sie als Kind nutzte, um die Zahlen von 1 bis 100 schnell zu addieren: n=100, a=1, d=1, also S100 = 100/2 × (1 + 100) = 5050. Arithmetische Folgen haben eine konstante Änderungsrate; wenn man ihre Glieder in ein Diagramm einträgt, ergeben sie eine Gerade — daher der Name lineare Folge. Im Gegensatz dazu haben geometrische Folgen ein konstantes Verhältnis und wachsen exponentiell gekrümmt. In der Praxis modellieren arithmetische Folgen viele Situationen. Ein Gehalt, das jedes Jahr um einen festen Betrag steigt, bildet eine arithmetische Folge. Auch die in jeder aufeinanderfolgenden Sekunde zurückgelegte Strecke eines Objekts bei konstanter Beschleunigung ist arithmetisch. Sitzreihen in einem Theater, bei denen jede Reihe einen Platz mehr hat als die davor, ergeben ebenfalls eine arithmetische Folge. Rentenberechnungen, einfache Zinsen und lineare Abschreibung beruhen auf denselben Formeln der arithmetischen Folge, die dieser Rechner verwendet.

Beispiele für die Summe arithmetischer Folgen

Häufige Beispiele zur Veranschaulichung der Summenformel arithmetischer Folgen.

Eingabe (a, d, n)Summe (Sn)Hinweise
a=1, d=1, n=1005050Summe der Zahlen von 1 bis 100. Sn = 100/2 × (1+100) = 50 × 101 = 5050. Das klassische Gauss-Problem.
a=2, d=3, n=540Folge: 2, 5, 8, 11, 14. Sn = 5/2 × [2×2 + (5−1)×3] = 2,5 × 16 = 40.
a=10, d=−3, n=422Fallende Folge: 10, 7, 4, 1. Sn = 4/2 × [20 + 3×(−3)] = 2 × 11 = 22.
a=5, d=0, n=630Konstante Folge: d=0 bedeutet, dass alle Glieder 5 sind. Summe = 6 × 5 = 30.

So verwenden Sie den Rechner für arithmetische Folgen

  1. Geben Sie das Anfangsglied (a) ein — den Wert der ersten Zahl Ihrer Folge.
  2. Geben Sie die Differenz (d) ein — den festen Betrag, der zu jedem Glied addiert wird. Verwenden Sie für eine fallende Folge einen negativen Wert.
  3. Geben Sie die Anzahl der Glieder (n) ein — wie viele Glieder Sie summieren möchten. Es muss eine positive ganze Zahl sein.
  4. Klicken Sie auf „Summe berechnen“. Der Rechner zeigt Sn, das letzte Glied an und die verwendete Formel an.
  5. Klicken Sie auf „Zurücksetzen“, um alle Felder zu leeren und eine neue Berechnung zu starten.

FAQ zur Summe arithmetischer Folgen

Wie lautet die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge?
Die Formel lautet Sn = n/2 × [2a + (n − 1)d], wobei n die Anzahl der Glieder, a das Anfangsglied und d die Differenz ist. Gleichwertig ist Sn = n/2 × (Anfangsglied + letztes Glied). Beide Formen liefern dasselbe Ergebnis; verwenden Sie die, die mit Ihren Angaben am bequemsten ist.
Kann die Differenz negativ oder null sein?
Ja. Eine negative Differenz bedeutet, dass die Folge abnimmt — jedes Glied ist kleiner als das vorherige. Zum Beispiel hat 10, 7, 4, 1 die Differenz d = −3. Eine Differenz von null bedeutet, dass alle Glieder gleich sind und die Summe n × a beträgt.
Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?
In einer arithmetischen Folge unterscheiden sich die Glieder um eine konstante Addition (Differenz d). In einer geometrischen Folge unterscheiden sich die Glieder um eine konstante Multiplikation (Quotient r). Arithmetische Folgen wachsen linear; geometrische Folgen wachsen exponentiell. Dieser Rechner ist speziell für arithmetische (lineare) Folgen ausgelegt.
Wie finde ich die Anzahl der Glieder, wenn ich Anfangsglied, letztes Glied und Differenz kenne?
Verwenden Sie die Formel n = (letztes Glied − Anfangsglied) / d + 1. In der Folge 3, 7, 11, 15, 19 ist das letzte Glied 19, das Anfangsglied 3 und d = 4: n = (19 − 3) / 4 + 1 = 5. Sobald Sie n kennen, geben Sie a, d und n in den Rechner ein, um die Summe zu erhalten.
Warum verwendet die Summenformel n/2?
Der Faktor n/2 entsteht aus dem Paaren des ersten und des letzten Glieds, deren Summe immer gleich ist. Schreibt man die Folge vorwärts und rückwärts und addiert die entsprechenden Glieder, ergibt jedes Paar (Anfangsglied + letztes Glied). Es gibt n solcher Paare, verteilt auf die beiden Schreibweisen, daher multipliziert man mit n/2.
Kann dieser Rechner für einfache Zinsberechnungen verwendet werden?
Ja. Einfache Zinsen auf ein Darlehen oder eine Anlage erzeugen eine arithmetische Folge von Kontoständen. Wenn Sie mit dem Kapital P beginnen, pro Periode Zinsen I erhalten und den Gesamtbetrag nach n Perioden berechnen möchten, setzen Sie a = P + I, d = I und n auf die Anzahl der Perioden. Die Summe ergibt die Gesamtmenge aller Endbestände pro Periode.